傳輸線方程與終端加載的無損耗傳輸線

傳輸線方程

將基爾霍夫電壓、電流定律(KVL,KCL)應用於傳輸線微元的節點

這裏需要說明一下，R、L、G和C表示的是單位長度傳輸線的量值，它們的單位是 $\Omega/m$ 、、和。

採用負數表示，由基爾霍夫電壓定律可得

$(R+j \omega L) I(z) \Delta z+V(z+\Delta z)=V(z)$

將該式轉化爲微分方程，將微分傳輸線段兩端的電壓降組合成微商的形式

$\lim _{\Delta z \rightarrow 0}\left(-\frac{V(z+\Delta z)-V(z)}{\Delta z}\right)=-\frac{d V(z)}{d z}=(R+j \omega L) I(z)$

即

$-\frac{d V(z)}{d z}=(R+j \omega L) I(z)$

對節點應用基爾霍夫電流定律可得

$I(z)-V(z+\Delta z)(G+j \omega C) \Delta z=I(z+\Delta z)$

微分方程形式

$\lim _{\Delta z \rightarrow 0} \frac{I(z+\Delta z)-I(z)}{\Delta z}=\frac{d I(z)}{d z}=-(G+j \omega C) V(z)$

傳輸線方程

$\left\{\begin{array}{l}{\frac{\mathrm{d} \mathrm{V(z)}}{d z}=-(R+j \omega L) I(z)} \\ {\frac{\mathrm{dI(z)}}{d z}=-(G+j \omega C) V(z)}\end{array}\right.$

電壓波和電流波

傳輸線方程(1)式對空間求導得

$\frac{d^2 V(z)}{d z^2}=-(R+j \omega L) \frac{I(z)}{dz}$

將傳輸線(2)式帶入上式得

$\frac{d^2 V(z)}{d z^2}-\gamma^2 V(z)=0$

同理可得

$\frac{d^2 I(z)}{d z^2}-\gamma^2 I(z)=0$

兩式表示用複數描述電壓和電流的特性，其中係數 $\gamma$ 是已知的復傳播常數

$\gamma = \alpha +j\beta=\sqrt{(R+j\omega L)(G+j\omega C)}$

其中 $\alpha$ 爲衰減常數， $\beta$ 稱爲相位常數。

兩式解都是指數函數，對於電壓

$V(z)=V^+e^{-\gamma z}+V^- e^{+\gamma z}$

對於電流

$I(z)=I^+e^{-\gamma z}+I^- e^{+\gamma z}$

以上兩式，第一項代表向+z方向傳播的波，而第二項代表沿-z方向傳播的波。這是沒有實際意義的，因爲 $\alpha\geq 0$ ,所以 $\beta$ 前的負號保證了+z方向傳播的波的幅度將逐漸減小。同樣，沿-z方向傳播的波由於遞減的指數項而逐漸衰減。

特性阻抗

將 $V(z)=V^+e^{-\gamma z}+V^- e^{+\gamma z}$ 代入 $-\frac{d V(z)}{d z}=(R+j \omega L) I(z)$ 可得

$I(z)=\frac{\gamma}{(R+j \omega L)}\left(V^{+} \mathrm{e}^{-\gamma z}-V^{-} \mathrm{e}^{+\gamma z}\right)$

因爲電壓與電流通常通過阻抗聯繫起來，引入傳輸線的特性阻抗(characteristic impedance) $Z_{0}$ ，其定義爲

$Z_{0}=\frac{(R+j \omega L)}{\gamma}=\sqrt{\frac{(R+j \omega L)}{(G+j \omega C)}}$

電流表達式可以寫成

$I(z)=\frac{1}{Z_{0}}\left(V^{+} \mathrm{e}^{-\gamma z}-V^{-} \mathrm{e}^{+\gamma z}\right)$

$Z_{0}$ 並不是常規意義上的阻抗，它的定義是基於正向和反向行進的電壓波和電流波。這與基於總電壓，總電流概念定義的常規電路阻抗完全不同。

無損耗傳輸線模型

對於較短的線段，忽略損耗不會引起明顯的誤差，這意味着,此時特徵阻抗可簡化爲

$Z_{0}=\sqrt{L/C}$

如果選取參數爲L和C的平行板傳輸線，那麼其特性阻抗爲

$Z_{0}=\sqrt{\frac{\mu}{\epsilon}}\frac{d}{w}$

其中，平方根項稱爲波阻抗，在自由空間( $\mu=\mu_{0},\epsilon=\epsilon_{0}$ )該值約爲377 $\Omega$ 。無損耗傳輸線的傳播常數是純虛數 $\gamma=j\beta$ ，其中

$\beta=\omega\sqrt{LC}$ 。

終端加載的無損耗傳輸線

電壓反射係數

假定負載位於z=0處，電壓波從處耦合入傳輸線。如下圖

已道，傳輸線上任意處的電壓

$V(z)=V^+e^{-\gamma z}+V^- e^{+\gamma z}$

上式第二項的物理意義是在的區間，終端負載阻抗產生的反射。引入反射係數(reflection coefficient) $\Gamma_{0}$ ,它是反射電壓波與入射電壓波在負載（）處的比值：

$\Gamma_{0}=\frac{V^-}{V^+}$

根據這個定義，電壓波和電流波遊客用反射係數表示爲

$V(z)=V^{+} (e^{-\gamma z}+\Gamma _{0} e^{+\gamma z})$

和

$I(z)=\frac{V^{+}}{Z_{0}} (e^{-\gamma z}+\Gamma _{0} e^{+\gamma z})$

如果用除以，可得沿着z軸 $-l\leq z\leq 0$ q區間內任意點處，作爲空間函數的阻抗的表達式。在處的總輸入阻抗通常記爲 $Z_{in}$ 。在處，阻抗等於負載阻抗：

$Z(0)=Z_{L}=Z_{0}\frac{1+\Gamma_{0}}{1-\Gamma_{0}}$

可求出反射係數

$\Gamma_{0}=\frac{Z_{L}-Z_{0}}{Z_{L}+Z_{0}}$

上式更加常用，因爲它只含已知電路參數，而與特定的電壓波幅度之比無關。

當負載開路時 $Z_{L}=\infty$ ，反射係數 $\Gamma_{0}=1$ ，這意味着反射電壓波與入射電壓波有着相同的相位；

當負載短路時 $Z_{L}=0$ ，反射係數 $\Gamma_{0}=-1$ ，這意味着反射電壓波與入射電壓波有着相反的振幅；

當 $Z_{0}=Z_{L}$ (此時負載阻抗與傳輸線的特性阻抗相匹配),反射係數 $\Gamma_{0}=0$ ，不發生反射，說明此時入射電壓波完全被負載吸收了。

傳播常數與相速度

對於無損耗的傳輸線，複數傳播常數的定義是具有非常簡單的形式

$\gamma=\alpha+j\beta=j\omega\sqrt{LC}$

其中， $\alpha$ 爲衰減常數， $\beta$ 稱爲相位常數。且 $\alpha=0$ ， $\beta=\omega\sqrt{LC}$ 。

此時

$V(z)=V^{+} (e^{-j\beta z}+\Gamma _{0} e^{+j\beta z})$

$I(z)=\frac{V^{+}}{Z_{0}} (e^{-j\beta z}-\Gamma _{0} e^{+j\beta z})$

相位常數與相速度的關係

$\beta=\frac{\omega}{v_{p}}$

則相速度 $v_{p}$ 可由傳輸線參數 L 和 C 給出

$v_{p}=\frac{1}{\sqrt{LC}}$

由此可見傳輸線中相速度與頻率無關。這表明瞭如果在傳輸線中傳播的是脈衝信號，可以把脈衝分解爲一些列頻率諧波分量，而每個頻率分量都以同一固定相速度傳播。所以當原始脈衝到達不同的位置時，都能保持形狀不變。這種現象叫做無色散(dispersion-free)傳輸。然而實際情況下常常要考慮相速度在某種程度上的頻率相關性，或稱色散，色散將引起信號畸變。

駐波與電壓駐波比

把終端短路的傳輸線 $\Gamma_{0}=1$ 放在新座標系d中描述

式 $V(z)=V^{+} (e^{-j\beta z}+\Gamma _{0} e^{+j\beta z})$ 可改寫成

$V(d)=V^{+}\left(e^{+j\beta d}-e^{-j\beta d}\right)$

歐拉公式 $e^{ix}=cosx+isinx$ ,上式括號中內容可改寫爲 $2jsin(\beta d)$ ,將上式從複數變換爲時域形式得

$\begin{aligned} v(d, t) &=\operatorname{Re}\left\{V e^{j \omega t}\right\}=\operatorname{Re}\left\{2 j V^{+} \sin (\beta d) e^{j \omega t}\right\} \\ &=2 V^{+} \sin (\beta d) \cos (\omega t+\pi / 2) \end{aligned}$

其中，正弦項確保了在處，任意時，電壓都維持短路狀態。c此時輸入波與反射波的相位差是 $180\degree$ ，導致波在空間位置爲0， $\lambda/2$ , $\lambda$ , $3\lambda/2$ 等處出現了固定的爹加零點。

將新座標d引入 $V(z)=V^{+} (e^{-j\beta z}+\Gamma _{0} e^{+j\beta z})$ ,該公式變爲

$V(d)=V^{+} e^{+j\beta d}(1+\Gamma_{0} e^{-2j\beta d})=A(d)[1+\Gamma(d)]$

其中，設 $A(d)=V^{+} e^{+j\beta d}$ ，並定義反射係數：

$\dpi{120} \Gamma(d)=\Gamma_{0} e^{-2j\beta d}$

同理，在新的空間座標系中，電流波的定義爲

$I(d)=\frac{V^{+}}{Z_{0}} e^{+j\beta z}(1-\Gamma_{0} e^{-2j\beta d})=\frac{A(d)}{Z_{0}}[1-\Gamma(d)]$

在匹配條件下( $\Gamma_{0}=0$ )，反射係數 $\Gamma(d)=0$ ，此時只有向右傳播的波。爲了量化不匹配的程度，引入駐波比(standing wave ratio,SWR),又稱駐波係數，即傳輸線上電壓最大幅度(或電流)與電壓最小幅度(或電流)的比值

$SWR=\frac{|V_{max}|}{|V_{min}|}=\frac{|I_{max}|}{|I_{min}|}$

注意到 $\Gamma(d)$ 的最大幅度是1，可將上式表示爲下式

$SWR=\frac{1+|\Gamma_{0}|}{1-|\Gamma_{0}|}$

其取值範圍是 $1\leq SWR\leq \infty$ 。圖像如下

很多情況下，稱SWR爲電壓駐波比(voltage standing wave ratio,VSWR)以區分功率駐波比(PSWR)。嚴格地說SWR只能運用於無損耗傳輸線，因爲有損耗傳輸線電壓與電流的幅值是距離的函數。但多數射頻系統損耗很低，式 $SWR=\frac{1+|\Gamma_{0}|}{1-|\Gamma_{0}|}$ 可以使用。觀察 $\Gamma(d)=\Gamma_{0} e^{-2j\beta d}$ 得，反射係數的實部(以及虛部)的最大最小值之間的距離爲 $d=\lambda/4$ 即 $2\beta d=\pi$ ,最大值之間的距離是 $d=\lambda/2$ 。

傳輸線方程與終端加載的無損耗傳輸線