今天備考軟件設計師，遇到個公式1+2+3+..+n=n(n+1)/2，居然一時卡殼無法證明。
我們先看看令高斯聞名世界的小學數學題，1+2+3+...+98+99+100=?
算法1： 逐個累加。
算法2：逐對的首尾相加： (1+100)+(2+99)+(3+98)+...+(50+51) ，總共有 50對101，就是50*101=5050。
算法3：創造出一個相反的計算式 100+99+98+...+3+2+1，它與1+2+3+...+99+100的結果是相同的，兩個式子一一對應相加，總共是100個101，就是100*101，然後再除2，就是100*101/2 = 5050。
這三個算法，顯然第三個更直觀更清晰。讓我感到驚奇的是它的創造性，它沒有直接去求解問題，而是創造性的提出一個新問題，然後利用這個多餘的新問題與題目之間的獨特關係，從而簡化了原問題的求解。不得不說，真的不是一般沒有受過數學訓練的人能想到的。
我們再用算法2和3去推導公式：1+2+3+..+n=n(n+1)/2。
算法2：
n爲偶數時，逐對進行首尾相加，剛好有n/2對，每對的和是n+1，二者相乘就是和：(n+1)n/2。
比如：1+2+3+4。
n爲奇數時，這時有2種方法。
方法1：先累加前n-1，即先計算：1+2+3+..+n-1，套用偶數的公式，結果前n-1項的和是 n(n-1)/2，然後再加上n，就是 n+n(n-1)/2 = n(n+1)/2。
方法2：逐對進行首尾相加，會有(n-1)/2對，每對的和是n+1，但中間剩下個單項，是 (n+1)/2，兩個部分加起來，就是：(n+1)(n-1)/2 + (n+1)/2 = (n+1)n/2。
比如：1+2+3+4+5。
算法3（清晰易懂）：
要求1+2+3+...+(n-1)+n
構造n+(n-1)+...+3+2+1
二者上下對應相加，得到：
(n+1)+(n+1)+...+(n+1)+(n+1)+(n+1)
容易看出，是n個n+1相加，即 n*(n+1)
因構造的算式與要求的算式值相等，所以剛纔的結果除2，即 n(n+1)/2 爲最終結果。
看完算法3是不是感覺眼前一亮，非常清晰。
不得不感慨：數學真的是精妙！
寫於湖北省圖，2019.10.26