洛谷 P4568 [JLOI2011]飞行路线 - 分层图最短路

洛谷 P4568 [JLOI2011]飞行路线

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算法标签: 图论，最短路

题目

题目描述

Alice和Bob现在要乘飞机旅行，他们选择了一家相对便宜的航空公司。该航空公司一共在n个城市设有业务，设这些城市分别标记为0到n-1，一共有m种航线，每种航线连接两个城市，并且航线有一定的价格。

Alice和Bob现在要从一个城市沿着航线到达另一个城市，途中可以进行转机。航空公司对他们这次旅行也推出优惠，他们可以免费在最多k种航线上搭乘飞机。那么Alice和Bob这次出行最少花费多少？

输入格式

数据的第一行有三个整数，n,m,k，分别表示城市数，航线数和免费乘坐次数。
第二行有两个整数，s,t，分别表示他们出行的起点城市编号和终点城市编号。
接下来有m行，每行三个整数，a,b,c，表示存在一种航线，能从城市a到达城市b，或从城市b到达城市a，价格为c。

输出格式

只有一行，包含一个整数，为最少花费。

输入输出样例

输入 #1

5 6 1
0 4
0 1 5
1 2 5
2 3 5
3 4 5
2 3 3
0 2 100

输出 #1

8

说明/提示

对于30%的数据,\(2 \le n \le 50,1 \le m \le 300,k=0;\)
对于50%的数据,\(2 \le n \le 600,1 \le m \le 6000,0 \le k \le 1;\)
对于100%的数据,\(2 \le n \le 10000,1 \le m \le 50000,0 \le k \le 10,0 \le s,t<n,0 \le a,b<n,a\neq b,0 \le c \le 1000\)

题解：

分层图最短路

思路就是建一个\(K\)层的图（平面内开k倍），之后按照加边规则把每条边在k层平面内都加好，之后同样的两个点在相邻层中建一条边权为\(0\)的边，这样构成了所给的\(K\)条免费的路径。

分层图加边代码（链式前向星）：

for (int i = 1; i <= m; i ++ )
{
    int x, y, z;
    scanf("%d%d%d", &x, &y, &z);
    add(x ,y, z);
    add(y, x, z);
    for (int j = 1; j <= k; j ++ )
    {
        add(x + (j - 1) * n, y + j * n, 0);
        add(y + (j - 1) * n, x + j * n, 0);
        add(x + j * n, y + j * n, z);
        add(y + j * n, x + j * n, z);
    }
}

不过这道题有大坑！！！

首先的确给了我们K个免费机会，但是我们不确定最优解是否一定用光了这K次机会（例如说最优解边数<K），那么我们需要加一个循环搜索最小值的过程。

其次是在这道题中的数据，数组要开……估算40倍！！！首先因为是分层图，并且每一条边都是双相边，这里数组一定要够大！！！！！（本蒟蒻在这里被疯狂卡）

AC代码

#include <bits/stdc++.h>

using namespace std;

const int N = 4e5 + 10;

const int M = 3e6 + 10;

int n, m, k, s, t, vis[N], dis[N];

int tot, to[M], val[M], nex[M], head[N];

void add(int x, int y, int z)
{
    to[ ++ tot] = y;
    val[tot] = z;
    nex[tot] = head[x];
    head[x] = tot;
}

priority_queue < pair<int, int> > q;

void dijkstra(int s)
{
    memset(vis, 0, sizeof vis);
    memset(dis, 0x3f, sizeof dis);

    dis[s] = 0;
    q.push(make_pair(0, s));
    while (!q.empty())
    {
        int x = q.top().second;
        q.pop();
        if (vis[x])
            continue ;
        vis[x] = 1;
        for (int i = head[x]; i; i = nex[i])
        {
            if (dis[to[i]] > dis[x] + val[i])
            {
                dis[to[i]] = dis[x] + val[i];
                q.push(make_pair(-dis[to[i]], to[i]));
            }
        }
    }
}

int main()
{
    scanf("%d%d%d", &n, &m, &k);
    scanf("%d%d", &s, &t);
    for (int i = 1; i <= m; i ++ )
    {
        int x, y, z;
        scanf("%d%d%d", &x, &y, &z);
        add(x ,y, z);
        add(y, x, z);
        for (int j = 1; j <= k; j ++ )
        {
            add(x + (j - 1) * n, y + j * n, 0);
            add(y + (j - 1) * n, x + j * n, 0);
            add(x + j * n, y + j * n, z);
            add(y + j * n, x + j * n, z);
        }
    }
    dijkstra(s);
    int ans = 0x3f3f3f3f;
    for (int i = 0; i <= k; i ++ )
    {
        ans = min(ans, dis[t + i * n]);
    }

    printf("%d\n", ans);
    return 0;
}