堆(Heap)的性質及實現

堆的性質：

• 堆在邏輯上是一棵完全二叉樹
• 堆是基於數組實現的，堆的所有元素都存儲在數組中
• 滿足任意結點的值都大於其子樹中結點的值的堆，稱爲大堆
• 滿足任意結點的值都小於其子樹中結點的值的堆，稱爲小堆
• 堆的基本作用是快速的在集合中找到最值

堆的實現（小堆爲例）：

1. 堆的向下調整(siftDown)：爲了滿足小堆的性質，即任意結點的值都小於其子樹中結點的值，因此需要對指定結點進行向下調整，代碼如下：

   //size是數組的大小，index是需要向下調整的元素的下標
   public void siftDown(int[] array, int size, int index) {
       int left = (index << 1) + 1;
       //堆是完全的二叉樹，如果沒有左節點，那麼必定沒有右節點，因此以左節點作爲先決條件
       while(left < size) {
           //先假定最小的值時左節點的值
           //原因:進入循環左節點必定存在，然後再判斷右節點是否存在，
           //不存在的話最小值肯定是左節點，如果存在的話，只有當右節點的值小於左節點時纔會讓最小值時右節點的值
           int min = left;
           int right = (index << 1) + 2;
   
           //只有右節點存在且小於左節點的值時才進入循環
           if(right < size && array[right] < array[left]) {
                   min = right;
           }
   
           //如果兩子節點中的最小值都大於他本身的值時，調整結束
           if(array[min] >= array[index]) {
               break;
           }
   
           //交換指定節點和其子節點中最小值的節點
           int tmp = array[index];
           array[index] = array[min];
           array[min] = tmp;
   
           //調整後下標是min的結點等待繼續調整
           index = min;
           left = (index << 1) + 1;
       }
   }

2. 構建堆(heapify)：從最後一個非葉子結點開始向下調整直到根節點(下標爲0的元素)後，表示任意結點都滿足了小堆的性質，實現方式如下：

   //此處size是數組最後一個元素的下標
   public void heapify(int[] array, int size) {
       for (int i = (size - 1) >> 1; i >= 0; i--) {
           new SiftDown().siftDown(array, size, i);
       }
   }

   3.下述爲PriorityQueue在構建堆時的源碼：

   //其中size表示的是數組中元素的個數，因此和上面構建代碼中的循環條件有所差別，但是本質表達的是一個意思
   private void heapify() {
       for (int i = (size >>> 1) - 1; i >= 0; i--)
           siftDown(i, (E) queue[i]);
   }

堆最常解決的問題：

• TopK問題
• 排序問題

堆的應用—優先級隊列：

• 提供兩個最基本的操作，一個是返回最高優先級對象，一個是添加新的對象。這種數據結構就是優先級隊列(Priority Queue)
• 優先級隊列的實現方式有很多，但是最常見的是使用堆來構建
• Java中的優先級隊列就是通過構建堆來實現的