快速冪

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本題暴力解的話會超時。所應用的方法是快速冪，其主要思想是這樣的：比如求3^7

3^1 = 3;
3^2 = 9;
3^3 = 27;

這裏的3^3不是暴力算出來的，我們已經算出來了3^1 = 3和3^2 = 9;所以兩者相乘就是3^3。所以快速冪之所以快就是因爲，它利用了前面的結果，避免了重複計算。
下面我們需要考慮，怎麼樣才能讓計算機知道現在要用前面的那些結果呢？我們以3^5爲例講解，現在假設已經計算到3^5了，那麼我麼該用前面的哪些結果呢？

3^1 = 3;
3^2 = 9;
3^3 = 27;
3^4 = 81;
3^5 = 243;

我們既可以用3^1 * 3^4 = 81得到，也可以用3^2 * 3^3得到。而我們必須給計算機確定的指令。我們不妨把指數5分解，5 = 2^0 + 2^2.當然，你也可以分解爲其他底我們之所以以2爲底是考慮到計算機二進制的特性，可以天然的減少分解操作。5對應的二進制形式爲101，不難發現，二進制數制的表示上就是將有效位置爲1.從5的二進制裏可看出0和2位是有效位，正好滿足分解等式。 因此，我們只需把所有有效位相乘就可以得到結果。

#include<iostream>
using namespace std;

int main() {
	int a, b, p;
	cin >> a >> b >> p;
	int res = 1;
	while (b) {
		if (b & 1) res = res * 1ll * a%p;//b & 1取當前位，1ll強制轉化爲long long類型。
		a = a * 1ll * a%p;
	    b >>= 1;
	}
	cout << res << endl;
	return 0;
}

下面來一道練習題：

不難發現，該題也是應用快速冪的思想，找有效位，快速冪是將有效位相乘，而快速和則是將有效位相加。

#include<iostream>
using namespace std;
typedef unsigned long long ULL;
int main() {
	ULL a, b, p;
	cin >> a >> b >> p;
	ULL res = 0;
	while (b) {
		if (b & 1) res = (res + a) % p;
		a = a * 2 % p;
		b >>= 1;
	}
	cout << res;
	return 0;
}