【UOJ424】count

題面

UOJ

題解

\(m>n\)顯然無解。

建出這個序列的笛卡爾樹（如果大小相同則取最左的點），那麼一顆笛卡爾數對應且只對應一種序列。

考慮這棵笛卡爾樹的性質，就是往左兒子走它的數的大小必然減小至少\(1\)，而往右走是不一定減一的。

那麼這棵笛卡爾樹必須要滿足從根往葉子節點走，向左走的次數\(\leq m\)。

考慮這個笛卡爾樹的括號序列，就是說一個點每往左走就打一個(然後回溯回來就打一個)，向右兒子走則不管，注意一個點如果沒有左兒子的話就直接上一個()。

設(權值爲\(1\)，)權值爲\(-1\)，那麼這個括號序列需要滿足的要求有：\(0\leq\)前綴和\(\leq m\)。

將這個轉成格路問題，就是從\((0,0)\)走整點到\((n,n)\)，其中每一步只能向右或向上走一格，且不能碰到直線\(A:y=x+1,B:y=x-m-1\)，問方案數。

將連續碰到一條直線看作一次碰撞(例如\(ABBAAB\)看作\(ABAB\))，那麼可以枚舉一次碰到什麼直線，容斥計數即可。

代碼

#include <iostream>
#include <cstdio>
#include <cstdlib>
#include <cstring> 
#include <cmath> 
#include <algorithm>
#include <tuple>
using namespace std; 
const int Mod = 998244353; 
const int MAX_N = 2e5 + 5; 
int fpow(int x, int y) { 
    int res = 1; 
    while (y) { 
        if (y & 1) res = 1ll * res * x % Mod; 
        x = 1ll * x * x % Mod; 
        y >>= 1; 
    } 
    return res; 
} 
int N = 2e5, M, fac[MAX_N], ifc[MAX_N]; 
int C(int n, int m) { 
    if (n < 0 || m < 0 || n < m) return 0; 
    else return 1ll * fac[n] * ifc[m] % Mod * ifc[n - m] % Mod; 
} 
int main () { 
#ifndef ONLINE_JUDGE 
    freopen("cpp.in", "r", stdin); 
#endif 
    fac[0] = 1; for (int i = 1; i <= N; i++) fac[i] = 1ll * fac[i - 1] * i % Mod; 
    ifc[N] = fpow(fac[N], Mod - 2); 
    for (int i = N - 1; ~i; i--) ifc[i] = 1ll * ifc[i + 1] * (i + 1) % Mod; 
    cin >> N >> M;
    if (M > N) return puts("0") & 0; 
    int x = N, y = N, ans = C(x + y, x); 
    while (x >= 0 && y >= 0) { 
        tie(x, y) = make_tuple(y - 1, x + 1), ans = (ans - C(x + y, x) + Mod) % Mod; 
        tie(x, y) = make_tuple(y + M + 1, x - M - 1), ans = (ans + C(x + y, x)) % Mod; 
    } 
    x = y = N;
    while (x >= 0 && y >= 0) { 
        tie(x, y) = make_tuple(y + M + 1, x - M - 1), ans = (ans - C(x + y, x) + Mod) % Mod; 
        tie(x, y) = make_tuple(y - 1, x + 1), ans = (ans + C(x + y, x)) % Mod; 
    } 
    printf("%d\n", ans); 
    return 0; 
}