如何分析、統計算法的執行效率和資源消耗？

1、大 O 複雜度表示法

 1 int cal(int n) {
 2    int sum = 0;
 3    int i = 1;
 4    int j = 1;
 5    for (; i <= n; ++i) {
 6      j = 1;
 7      for (; j <= n; ++j) {
 8        sum = sum +  i * j;
 9      }
10    }
11  }

第 2、3、4 行代碼，每行都需要 1 個 unit_time 的執行時間，第 5、6 行代碼循環執行了 n 遍，需要 2n * unit_time 的執行時間，第 7、8 行代碼循環執行了 n²遍，所以需要 2n²* unit_time 的執行時間。所以，整段代碼總的執行時間 T(n) = (2n²+2n+3)*unit_time。用大 O 表示時間複雜度T(n) = O(n²)。

規律：所有代碼的執行時間 T(n) 與每行代碼的執行次數 n 成正比。

公式： 

含義：T(n) 表示代碼執行的時間；n 表示數據規模的大小；f(n) 表示每行代碼執行的次數總和。公式中的 O，表示代碼的執行時間 T(n) 與 f(n) 表達式成正比。 

定義：大 O 時間複雜度實際上並不具體表示代碼真正的執行時間，而是表示代碼執行時間隨數據規模增長的變化趨勢，所以，也叫作漸進時間複雜度（asymptotic time complexity），簡稱時間複雜度。當 n 很大時，你可以把它想象成 10000、100000。而公式中的低階、常量、係數三部分並不左右增長趨勢，所以都可以忽略。我們只需要記錄一個最大量級就可以了，如果用大 O 表示法表示這段代碼的時間複雜度，就可以記爲： T(n) = O(n²)。

 

2、複雜度分析法則

1）單段代碼看高頻：比如循環。
2）多段代碼取最大：比如一段代碼中有單循環和多重循環，那麼取多重循環的複雜度。
3）嵌套代碼求乘積：比如遞歸、多重循環等
4）多個規模求加法：比如方法有兩個參數控制兩個循環的次數，那麼這時就取二者複雜度相加。

3、幾種常見時間複雜度實例分析

 

多項式階：隨着數據規模的增長，算法的執行時間和空間佔用，按照多項式的比例增長。包括，O(1)（常數階）、O(logn)（對數階）、O(n)（線性階）、O(nlogn)（線性對數階）、O(n²)（平方階）、O(n³)（立方階）

非多項式階：隨着數據規模的增長，算法的執行時間和空間佔用暴增，這類算法性能極差。包括，O(2ⁿ)（指數階）、O(n!)（階乘階）

 

案例：

      1、O(1)  常數階：一般情況下，只要算法中不存在循環語句、遞歸語句，即使有成千上萬行的代碼，其時間複雜度也是Ο(1)。

1  int i = 8;
2  int j = 6;
3  int sum = i + j;

 

    2、O(logn)  對數階：

1   i=1;
2  while (i <= n)  {
3    i = i * 2;
4  }

第三行代碼是循環執行次數最多的，只要能計算出這行代碼被執行了多少次，就能知道整段代碼的時間複雜度。從代碼中可以看出，變量 i 的值從 1 開始取，每循環一次就乘以 2。當大於 n 時，循環結束。還記得我們高中學過的等比數列嗎？實際上，變量 i 的取值就是一個等比數列。如果我把它一個一個列出來，就應該是這個樣子的：

 

所以，我們只要知道 x 值是多少，就知道這行代碼執行的次數了。通過 2^x=n 求出x=log₂n，所以，這段代碼的時間複雜度就是 O(log₂n)。但是當n無窮大的時候，忽略對數的“底”，統一表示爲 O(logn)。

 

   3、O(nlogn)    線性對數階:  如果一段代碼的時間複雜度是 O(logn)，我們循環執行 n 遍，時間複雜度就是 O(nlogn) 了。比如，歸併排序、快速排序的時間複雜度都是 O(nlogn)。

 

　4、O(m+n)、O(m*n)   ：代碼的複雜度由兩個數據的規模來決定。如下面的代碼時間複雜度就是 O(m+n)。

 1 int cal(int m, int n) {
 2   int sum_1 = 0;
 3   int i = 1;
 4   for (; i < m; ++i) {
 5     sum_1 = sum_1 + i;
 6   }
 7 
 8   int sum_2 = 0;
 9   int j = 1;
10   for (; j < n; ++j) {
11     sum_2 = sum_2 + j;
12   }
13 
14   return sum_1 + sum_2;
15 }