最長公共子序列問題

最長公共子序列問題 （LCS，Longest Common Subsequence）

定義 $d[i][j]:=s_1…s_i和t_1…t_j$ 對應的LCS的長度

$∴ s_1…s_{i+1}和t_1…t_{j+1}$ 對應的公共子列可能是：

1. 當 $s_{i+1}=t_{j+1}$ 時，在 $s_1…s_i和t_1…t_j$ 的公共子列末尾追加上 $s_{i+1}$
2. $s_1…s_{i}和t_1…t_{j+1}$ 的公共子列
3. $s_1…s_{i+1}和t_1…t_{j}$ 的公共子列

由此得到遞推公式：
$dp[i+1][j+1]=\left\{ \begin{array}{rcl} dp[i][j]+1&& s_{i+1}=t_{j+1}\\ \max (dp[i][j+1],dp[i+1][j])&& 其他 \end{array} \right.$
時間複雜度爲$O(nm)$，$dp[n][m]$就是LCS的長度

int n,m,dp[maxn+1][maxn+1];
char s[maxn],t[maxn];
void solve(){
    for(int i=0;i<n;i++)
        for(int j=0;j<m;j++){
            if(s[i]==t[j]) dp[i+1][j+1]=dp[i][j]+1;
            else dp[i+1][j+1]=max(dp[i][j+1],dp[i+1][j]);
        }
    cout<<dp[n][m];
}