圖論網絡流

1

給定一棵樹，每次可以選一個葉子刪掉。同時有 $m$ 個限制 $(u,v)$ 表示 $u$ 必須在 $v$ 之前刪掉。求可能最後一個被刪掉的點的集合。

如果有一個 $u\rightarrow v$ 的限制，那麼以 $v$ 爲根 $u$ 的子樹都不能選。之後把不能選的點之間定向，加上限制的邊，如果有環就無解，否則可以證明解就是剩下的點。

2

給定一個字符串集合，求字符集大小爲 $k$ 且不包含任何一個集合中串的“雙向無限”字符串個數。如果有無限個輸出 -1。
$k\leq 10，總串長\leq 100000$

構建出字符串和字符集的 AC 自動機。判斷 inf：
1.某個 scc 不是簡單環；
2.某條路徑經過三個不同 scc。
否則，一條合法的路徑一定是從一個環出發，走一些路徑，再到一個環。

3

有一個 $w\times h$ 的 $01$ 矩陣 $A$，和一個 $(w-1)*(h-1)$ 的矩陣 $B$，滿足 $B_{i,j}=A_{i,j}+A_{i,j+1}+A_{i+1,j}+A_{i+1,j+1}$
給你矩陣 $B$，請給出一個滿足條件的矩陣 $A$。

添加輔助變量，每四個格子添加輔助變量表示哪些等於 $0$ ???

發現確定了第一行第一列和 $A_{11}$ 之後，每個格子都可以由一坨 $B$ 元素和兩個 $A$ 元素（該行第一個和該列第一個）算出。然後就是 2-sat 模型了。

田字格限制問題一般想一想確定了哪些東西以後解就是固定的了。

4

一棵樹 $m$ 對點，每次可以花費 $1$ 的代價給一條邊標記或者給一對點標記。滿足每對未標記點的路徑上的所有邊都被標記。
$n,m\leq 10000$
要麼點對被覆蓋，要麼之間所有邊被覆蓋。建二分圖，左邊是點對，右邊是邊，每個點對向它們之間所有的邊。求最小割即可。向樹上的一條路徑連邊，可以倍增或者樹剖優化。

5

給定一個由單位正方體組成的物體的俯視圖，求最多拿掉多少正方體使得三視圖不變。
$n,m<=100$

首先滿足俯視圖。即俯視圖不爲零的都鋪上一層。

答案的上界顯然是每列最大值之和+每行最大值之和。什麼時候答案會減小？就是行行和列公用最大值的時候。因此建立二分圖，左邊是行，右邊是列，如果某行某列最大值相同並且這個格子可以放東西，就連流量 1 費用 最大值的邊。跑最大費用流即可。

進一步觀察發現權值相同的點纔會聯通，因此把權值相同的點拿出來跑最大流即可。

輸贏分配問題

區間 $k$ 覆蓋問題
有一些區間，選擇一個區間會產生一些收益。每個點覆蓋它的區間最多不超過 $k$ 個。
對於一個區間 $[l,r]$，我們連邊 $l\rightarrow r+1$，流量 $1$，費用 $k$。求流量爲 $k$ 的最大費用流

答案的上界顯然是不對移動進行限制的匹配。

考慮去調整匹配（變得合法）。如果匹配中士兵移動以後炸掉一個炮樓，然而不合法，那麼他不移動的時候一定也可以炸掉一個炮樓。我們對他的匹配進行調整，匹配數不變。
非常有趣的調整。證明了上界總是可以達到的。

這一類網絡流問題總是先去考慮答案的上界，然後用最小割/最大流來調整，或是直接證明了上界可以達到。

雜談

邊權小的時候用桶代替dij的堆。
k短路 可並堆

多sat（每個變量出現兩次，一正一反）。包含a的子句和-a的子句連無相邊 cf

完全圖最小生成樹：曼哈頓最小生成樹：把平面分成八個方向，向每個方向曼哈頓最近的點連邊。每個區域有兩條限制，比如x>=x0,(y-y0)-(x-x0)>=0，一維排序掃描線，另一維按區域維護x+y最小值即可。

編號gcd：只有向他的倍數的點的連邊纔有用。
xor：boruvka？

最小生成環套樹。直接kruskal。正確性：未選擇的邊一定不在答案內。

次小生成樹：枚舉非樹邊，刪掉路徑最大邊。

給定每個點的度數，構造滿足條件的圖或樹

1.要求沒有重邊：
每次選一個度最大的點，假設度數爲 $k$，和度數前 $k$ 大的點連邊。

2.不要求：
充要條件是最大點度數小於等於總度數的一半並且總度數爲偶數。構造方法是每次選擇兩個度最大的點連邊。

3.不要求沒有重邊要求聯通。

樹：
合法當且僅當和爲 $2n-2$，且每個點至少是 $1$。
使用 prufer 序列，先提出葉子，和度數最大的點連邊。維護兩個集合，一個是葉子一個是非葉子。

prufer 序列：找到編號最小的葉子刪掉，把鄰接點放到序列裏。直到剩兩個點。每個點出現次數是 $d-1$ 次。

線性代數黑科技：
無向圖的 dfs 樹上給每個非樹邊分配一個隨機整數權值，樹邊權值等於覆蓋他的非樹邊權值的異或，一組邊集是割集當且僅當對應權值線性相關。
割集只刪掉這組邊以後聯通塊數量增加了。線性相關指存在一個子集異或爲 $0$。
dzyloves chinese。

支配樹
DAG 上的做法較簡單，一個點的支配點就是入邊支配點的 Lca。