線段樹

線段樹的構造

線段樹是一棵二叉樹，他的每個節點包含了兩個額外的屬性start和end用於表示該節點所代表的區間。start和end都是整數，並按照如下的方式賦值:

• 根節點的 start 和 end 由 build 方法所給出。
• 對於節點 A 的左兒子，有 start=A.left, end=(A.left + A.right) / 2。
• 對於節點 A 的右兒子，有 start=(A.left + A.right) / 2 + 1, end=A.right。
• 如果 start 等於 end, 那麼該節點是葉子節點，不再有左右兒子。

實現一個 build 方法，接受 start 和 end 作爲參數, 然後構造一個代表區間 [start, end] 的線段樹，返回這棵線段樹的根。

/**
 * Definition of SegmentTreeNode:
 * class SegmentTreeNode {
 * public:
 *     int start, end;
 *     SegmentTreeNode *left, *right;
 *     SegmentTreeNode(int start, int end) {
 *         this->start = start, this->end = end;
 *         this->left = this->right = NULL;
 *     }
 * }
 */
class Solution {
public:
    /**
     *@param start, end: Denote an segment / interval
     *@return: The root of Segment Tree
     */
    SegmentTreeNode * build(int start, int end) {
        // write your code here
        if (start > end) return NULL;
        SegmentTreeNode* node = new SegmentTreeNode(start, end);
        if (start != end) {
            int mid = start + (end - start) / 2;
            node->left = build(start, mid);
            node->right = build(mid+1, end);
        }
        return node;
    }
};

線段樹的查詢

對於一個有n個數的整數數組，在對應的線段樹中, 根節點所代表的區間爲0-n-1, 每個節點有一個額外的屬性max，值爲該節點所代表的數組區間start到end內的最大值。

爲SegmentTree設計一個 query 的方法，接受3個參數root, start和end，線段樹root所代表的數組中子區間[start, end]內的最大值。

class Solution {
public:
    /**
     *@param root, start, end: The root of segment tree and 
     *                         an segment / interval
     *@return: The maximum number in the interval [start, end]
     */
    int query(SegmentTreeNode *root, int start, int end) {
        // write your code here
        if (root->start == start && root->end == end) return root->max;
        int leftmax = 1<<31, rightmax = 1<<31;
        int mid = root->start + (root->end - root->start) / 2;
        // left half part
        if (start <= mid) {
            if (mid < end) {
                leftmax = query(root->left, start, mid);
            } else {
                leftmax = query(root->left, start, end);
            }
        }
        // right half part
        if (mid < end) {
            if (start <= mid) {
                rightmax = query(root->right, mid+1, end);
            } else {
                rightmax = query(root->right, start, end);
            }
        }
        return max(leftmax, rightmax);
    }
};

線段樹的修改

對於一棵 最大線段樹, 每個節點包含一個額外的 max 屬性，用於存儲該節點所代表區間的最大值。

設計一個 modify 的方法，接受三個參數 root、 index 和 value。該方法將 root 爲跟的線段樹中 [start, end] = [index, index] 的節點修改爲了新的 value ，並確保在修改後，線段樹的每個節點的 max 屬性仍然具有正確的值。

class Solution {
public:
    /**
     *@param root, index, value: The root of segment tree and 
     *@ change the node's value with [index, index] to the new given value
     *@return: void
     */
    void modify(SegmentTreeNode *root, int index, int value) {
        // write your code here
        if (root->start == index && root->end == index) {
            root->max = value;
            return ;
        }

        int mid = root->start + (root->end - root->start) / 2;
        if (root->start <= index && index <= mid) {
            modify(root->left, index, value);
        }
        if (mid < index && index <= root->end) {
            modify(root->right, index, value);
        }

        root->max = max(root->left->max, root->right->max);
    }
};

區間最小數

給定一個整數數組（下標由 0 到 n-1，其中 n 表示數組的規模），以及一個查詢列表。每一個查詢列表有兩個整數 [start, end]。 對於每個查詢，計算出數組中從下標 start 到 end 之間的數的最小值，並返回在結果列表中。

/**
 * Definition of Interval:
 * classs Interval {
 *     int start, end;
 *     Interval(int start, int end) {
 *         this->start = start;
 *         this->end = end;
 *     }
 */
class Solution { 
public:
    struct Node {
        Node* left, * right;
        int start, end, min;
        Node(int start, int end) {
            this->start = start;
            this->end = end;
            left = right = NULL;
            min = 1<<30;
        }
    };

    Node* build(int start, int end) {
        if (start > end) return NULL;
        Node* root = new Node(start, end);

        if (start != end) {
            int mid = (start + end) / 2;
            root->left = build(start, mid);
            root->right = build(mid+1, end);
        }

        return root;
    }

    int query(Node* root, int start, int end) {
        if (root->start == start && root->end == end) 
            return root->min;

        int leftmin = 1<<30, rightmin = leftmin;
        int mid = (root->start + root->end) / 2;
        if (start <= mid) {
            if (mid < end) {
                leftmin = query(root->left, start, mid);
            } else {
                leftmin = query(root->left, start, end);
            }
        }
        if (mid < end) {
            if (start <= mid) {
                rightmin = query(root->right, mid+1, end);
            } else {
                rightmin = query(root->right, start, end);
            }
        }

        return min(leftmin, rightmin);
    }

    void modify(Node* root, int index, int value) {
        if (root->start == index && root->end == index) {
            root->min = value;
            return ;
        }

        int mid = (root->start + root->end) / 2;
        if (root->start <= index && index <= mid) {
            modify(root->left, index, value);
        }
        if (mid < index && index <= root->end) {
            modify(root->right, index, value);
        }

        root->min = min(root->left->min, root->right->min);
    }

    /**
     *@param A, queries: Given an integer array and an query list
     *@return: The result list
     */
    vector<int> intervalMinNumber(vector<int> &A, vector<Interval> &queries) {
        // write your code here
        vector<int> ret;
        if (A.size() == 0) return ret;
        Node* root = build(0, A.size()-1);
        for (int i=0; i<A.size(); i++) 
            modify(root, i, A[i]);
        for (int i=0; i<queries.size(); i++) {
            ret.push_back(query(root, queries[i].start, queries[i].end));
        }
        return ret;
    }
};