這是一道老題，有兩種思路，時間複雜度分別是O(n^2)和O（nlgn）. O(n^2)的方法是典型的DP思路，較爲常見，現在整理下O(nlgn)的算法思路。
算法思路
最長上升子序列的查找用到了多個數組。a數組作爲存儲原始數據的數組,該算法的實現過程就是將a數組中每個元素插入c數組中的過程，而c數組中最後剩餘的a數組中的元素個數即是最長上升序列的長度。
原因如下：
最長上升序列中的元素大小一定是遞增，利用這一個性質，每次將元素a[i]插入到c數組中時，是插入到一個位置c[j]，使得c[j]之前的元素都比a[i]小，使得c[j]之後的元素都比a[i]大，若a[i]已經在c數組中存在了,那就不選擇插入。可以得到c數組元素大小是遞增的，同時在插入的時候可以使用2分查找，那麼時間複雜度就是O(lgn)。那麼對於n個數來說, 總的計算最長上升序列的時間複雜度爲O(nlgn)。
核心算法描述如下：
for(int i=0; i<a.length ;i++) //O(n)
{
j=find(c,a.length,a[i]);//O(lgn)
c[j]=a[i]; //把a[i]插入到c數組中去
b[i]=j;//a[i]結尾的最長遞增序列長度爲j;
}把每個a[i]插入到c數組中去之後，返回a[i]在c數組中的位置,因此j就表示了以a[i]爲結尾元素的最長上升序列的長度。將j保存在b[i]中，也就是說b[i]保存了以a[i]爲結尾元素的最長上升序列的長度。這個數組的使用利於我們之後將最長字符串輸出。
字符串的輸出
首先找到b[i]數組中的最大值，也就是最長的遞增序列長度，然後向回遍歷b數組，當b[i]=最大長度-1 並且a[i]小於a[max] (兩者缺一不可),那麼就表明a[i]就是最長遞增序列的倒數第二個數,依次下去，最終找到並輸出最長遞增序列。參考代碼如下：
show[b[max]-1]=a[max];//用來保存最長遞增序列
int m =b[max];
//用O（n）時間把最長序列輸出
for(int i=max; i>0 ;i--)
{
if( b[i-1]==(m-1) && (a[i-1]<a[max]))//a[i-1]要是遞增序列中的第m-1個數,那麼 a[i-1]<a[max]
{//a[i-1]是遞增序列的第m-1個數
show[m-2]=a[i-1];
max=i-1;//要比較的最大數變爲數組中的第i-1個數
m--;
}
}下表是一個例子，針對串“9085598863”，算法最終運行結束後各數組的情況。注意c數組內的元素並一定是最長上升子序列（我們對於c數組下標從1開始算起）。
| 數組 | ||||||||||
|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|
| a | 9 | 0 | 8 | 5 | 5 | 9 | 8 | 8 | 6 | 3 |
| b | 1 | 1 | 2 | 2 | 2 | 3 | 3 | 3 | 3 | 2 |
| c | 0 | 3 | 6 |
參考代碼
/**
* 2分查找到以a[i]結尾的最長遞增序列在c數組的位置,目的是把a[i]插入到c數組合適的位置
* @return
*/
public static int find(int c[],int size,int a)
{
int left =1;
int right =size;
int mid=(left+right)/2;
while(left<=right)
{
if(a > c[mid])
left=mid+1;//要插入的位置在mid右邊;
else if(a < c[mid])
right =mid-1;//要插入的位置在mid左邊;
else
return mid;//a已經在c數組中,直接返回a在數組中的位置
mid =(left+right)/2;
}
return left;//插入到最左邊或者最右邊的情況
}
/**
* 查找最長上升序列
* @param a 保存了原始序列的數組
* @param b 保存了以a[i]爲最後一個字符的最長上升序列的長度
* @param c 保存了長度爲i增長序列的爲最後一個字符的最小值,c是一個遞增數組
*/
public static int longSeq(int a[],int b[],int c[])
{
for(int i=0;i<=a.length;i++)
c[i]=10000;
c[0]=-1;
c[1]=a[0];
b[0]=1;
int j=-1;
for(int i=0; i<a.length ;i++) //O(n)
{
j=find(c,a.length,a[i]);//O(lgn)
c[j]=a[i]; //把a[i]插入到c數組中去
b[i]=j;//a[i]結尾的最長遞增序列長度爲j;
}
int max =-1;
for(int i=1;i<=a.length;i++)
{
if(c[i] != 10000)
max =i; //記錄了其長度爲i遞增序列，其最後一個數爲c[i];
else
break;
}
return max;
}
//找到最長遞增序列,show數組保存遞增序列
public static void showLongSeq(int a[],int b[],int show[])
{
int d[] =new int[b.length];
//將b[]數組複製到d[]數組中
for(int i=0;i<b.length;i++)
{
d[i]=b[i];
}
//用O(n)時間找出b數組中的最大值,max代表最大數的下標
int max=0;
int temp =-1;
for(int i=0;i<d.length-1;i++)
{
if(d[i]>d[i+1])
{
temp =d[i];
d[i] =d[i+1];
d[i+1]=temp;
}else
max =i+1;
}
show[b[max]-1]=a[max];//用來保存最長遞增序列
int m =b[max];
//用O（n）時間把最長序列輸出
for(int i=max; i>0 ;i--)
{
if( b[i-1]==(m-1) && (a[i-1]<a[max]))//a[i-1]要是遞增序列中的第m-1個數,那麼 a[i-1]<a[max]
{
//a[i-1]是遞增序列的第m-1個數
show[m-2]=a[i-1];
max=i-1;//要比較的最大數變爲數組中的第i-1個數
m--;
}
}
for(int i=0; i<show.length;i++)
{
System.out.print(show[i]+" ");
}
}
public static void main(String[] args) {
int a[]={13,8,7,11,13,14 ,13 ,16, 15 ,9 ,18 ,9 ,2, 2 ,3 ,7 ,5 ,1, 1};
int b[]=new int[a.length];
int c[]=new int[a.length+1];
int max = longSeq(a,b,c);
System.out.println(max );
int show[] =new int[max];
showLongSeq(a,b,show);
}代碼只是簡單實現該算法，其中有很多不規範的地方還請見諒。
跟傳統的O(n^2)時間複雜度算法相比，該算法主要利用了遞增子序列的性質，通過二分查找的方法加快算法，降低了時間複雜度。最終的時間複雜度爲O(nlgn)。值得一提的是，《編程之美》中也有這道題目，思路跟本方法大同小異。
