状态机思路解决动态规划问题

这个状态机是我理解上的状态机，即：在设计算法的时候不只是专注于其中的数字逻辑，因为数字逻辑虽然易于抽象，但是有时会付出极大的时间消耗。

而使用状态机的思路可以增加内存来存储状态进行演绎，但是能够大幅度减少时间消耗

例子：一个击鼓传花的问题：

学校联欢晚会的时候，为了使每一个同学都能参与进来，主持人常常会带着同学们玩击鼓传花的游戏。游戏规则是这样的：n个同学坐着围成一个圆圈，指定一个同学手里拿着一束花，主持人在旁边背对着大家开始击鼓，鼓声开始之后拿着花的同学开始传花，每个同学都可以把花传给自己左右的两个同学中的一个（左右任意），当主持人停止击鼓时，传花停止，此时，正拿着花没传出去的那个同学就要给大家表演一个节目。

聪明的小赛提出一个有趣的问题：有多少种不同的方法可以使得从小赛手里开始传的花，传了m次以后，又回到小赛手里。对于传递的方法当且仅当这两种方法中，接到花的同学按接球顺序组成的序列是不同的，才视作两种传花的方法不同。比如有3个同学1号、2号、3号，并假设小赛为1号，花传了3次回到小赛手里的方式有1->2->3->1和1->3->2->1，共2种。

输入共一行，有两个用空格隔开的整数n，m（3<=n<=30，1<=m<=30）

输出共一行，有一个整数，表示符合题意的方法数

首先：不适用状态机的解决方案（代码在后边）

：遍历每种可能的状态，判断是不是传回给了自己

当传递次数增加的时候，状态的可能性呈指数增加：而事实上，并不需要针对每个中间过程中的状态来判断，只需要最后停止时候的状态的可能性

思路：

第一步：建立状态阵

对于N个链式节点，状态阵为长度为N的内存

长度为N的一段状态，这里的状态只有两种情况，可以选择Bool活着int，int可以统计数据，更加理想

为了存储m次传递之后的状态，这里扩充内存结构为：

代码：shared_ptr<int> MatirxCount = new int[n][m];

用智能指针管理动态数组；

第二步：逐次模拟结果状态

1. 初始化状态：MatrixCount[1][0] = 1;

2. 每次传递：将MatrixCount[i][j]向周围扩散，每次传递后的数据向下一行记录；

关键步骤：每次1扩散到节点都代表有一种将花传递到该节点的方案

3. 循环扩散m次

第三步：拿到结果并输出

要求的是输出传回给自己的方案数，那么只访问统计m次以后，MatrixCount[1][m]的值即可

具体实现：

int main()
{
    int n, m;
    cin >> n >> m;

    // 扩容：n+1增加一个单元形成闭环；m+1：初始状态占一个位置
    vector<vector<int>> MatrixCount(m + 1, vector<int>(n + 2, 0));

    // 开始逐次模拟
    MatrixCount[0][1] = 1;
    MatrixCount[0][n+1] = 1;
    for (int i = 1; i <= m; ++i)
    {
        for (int j = 1; j <= n; ++j)
        {
// 每次都将矩阵中的状态向下扩散
            MatrixCount[i][j] = MatrixCount[i-1][j-1] + MatrixCount[i-1][j+1];
        }
        MatrixCount[i][0] = MatrixCount[i][n];	// 用计算弥补数据结构的不足
        MatrixCount[i][n+1] = MatrixCount[i][1];
    }

    cout << MatrixCount[m][1];		// 拿到状态统计结果
    return 0;
}

附加一个遍历所有中间状态的算法：在次数过多的时候无法执行

bool isComeBack(long Numbers, int circle, int times)
{
    int tempSummary = 0;
    for (int i = 0; i < times; ++i)
    {
        tempSummary += (Numbers % 2 == 1 ? 1 : -1);
        Numbers /= 2;
    }
    if (tempSummary % circle == 0)
        return true;
    else
        return false;
}

int main()
{
    int m, n;
    cin >> n >> m;
    int count = 0;
    for (long i = 0; i < pow((double)2, m); ++i)
    {
        if (isComeBack(i, n, m))
            count++;
    }
    cout << count;
    return 0;
}