1 題目
VLSI測試
Diogenes教授有n個被認爲是完全相同的VLSI芯片，原則上他們是可以互相測試的。教授的測試裝置一次可測二片，當該裝置中放有兩片芯片時，每一片就對另一片作測試並報告其好壞。一個好的芯片總能夠報告另一片的好壞，但一個壞的芯片的結果是不可靠的。這樣，每次測試的四種可能結果如下：
| A芯片報告 | B芯片報告 | 結論 |
|---|---|---|
| B是好的 | A是好的 | 都是好的，或都是壞的 |
| B是好的 | A是壞的 | 至少一片是壞的 |
| B是壞的 | A是好的 | 至少一片是壞的 |
| B是壞的 | A是壞的 | 至少一片是壞的 |
- 證明若多於n/2的芯片是壞的，在這種成對測試方式下，使用任何策略都不能確定哪個芯 片是好的。假設壞的芯片可以聯合起來欺騙教授。
- 假設有多於n/2的芯片是好的，可慮從n片中找出一片好芯片的問題。證明⌊ n/2 ⌋對測試就足以使問題的規模降至近原來的一半。
- 假設多於n/2的芯片是好的，證明好的芯片可用Θ(n)對測試找出。給出並解答表達 測試次數的遞歸式。
2 分析與解答
- 壞芯片可以任意輸出被測試芯片的好壞結果，當壞芯片多餘n/2且有“智能”時，所有芯 片的檢測結果可以是一樣的。當壞芯片數大於n/2的話，那麼把芯片分成三個集合：
- k個好芯片，定義爲集合G
- k個壞芯片，定義爲集合H
- j個壞芯片，定義爲集合I
其中n=2k+j，將壞芯片可以聯合起來欺騙教授定義爲，壞芯片清楚自己所在的集合，清楚自 己所在的測試裝置的位置，和與自己放在一起的芯片所在的集合。如此，將測試結果爲“芯 片是好的”定義爲1，壞的定義爲0，每個芯片的測試結果是如下結果中的一種：
這樣只要壞芯片採用如此策略就能使所有芯片的檢查結果都相同：B芯片取自G B芯片取自H B芯片取自I A芯片取自G k-1個(1, 1) k個(x, 0) j個(x, 0) A芯片取自H k個(0, x) k-1個(x, x) j個(x, x) A芯片取自I k個(0, x) k個(x, x) j-1個(x, x) - 對取自集合H的芯片
- 在對好芯片測試時，將好芯片污衊成壞芯片；
- 在與H集合的芯片進行測試時，認爲H集合的芯片都是好芯片（包括自身）；
- 在與I集合的芯片進行測試時，在A位時，認爲I集合的芯片是壞芯片，在B位時，提 前選擇某一芯片認爲自己是I集合的成員，並且認爲I是好芯片。
- 對取自集合I的芯片
- 在B位時，都認爲A都是好芯片
- 在A位時，將好芯片污衊成壞芯片，認爲H中芯片是好芯片，認爲I中其他芯片是壞芯 片。
採用這種策略時，所有芯片的檢測結果都是k-1個(1, 1)，k個(0, 0)，j個(1, 0)。
- 當好芯片多於n/2時，先證明題中的方法能夠測得芯片的好壞，用同樣方法分析，將集合 I定義成好芯片，得到的測試結果爲：
可見，此時，當測試結果中有大於等於k-1個(1, 1)時，就可以認爲芯片是好的，如果得 到的芯片是好，那麼用這個芯片就可以將剩餘的芯片的好壞測出（只有測試結果爲(1, 1)的芯片是好芯片）；如果得到的芯片是壞的，那麼將此芯片去掉，此時好芯片的數目 仍然大於n /2，重複使用此方法就可最後測試出芯片好壞，但是這種方法的最壞情況 下是每n-1次使規模降低到n-1次。要想達到題目要求的效果需要其他算法，要求每次測 試的數目爲n/2，自然想到配對測試分組，比較次數就滿足了題目要求。算法描述如下：將測試芯片的集合稱爲V，觀察測試結果表，當測試結果出現0時，兩個芯片中至少有一 個是壞的，那麼就可以把測試結果出現0的測試芯片從V中去掉歸到集合U， 顯然U中的壞的芯片數量大於等於U中元素數的一半；剩下的芯片留在集合V中，，顯然集合V中好的芯片的數量大於V中元素數的一半；重複此過程，直至V中只 剩一個元素或兩個元素，那麼V中的芯片都是好芯片，最終可以利用好芯片測試出其他 芯片的好壞。 這裏有兩個細節：B芯片取自G B芯片取自H B芯片取自I A芯片取自G k-1個(1, 1) k個(x, 0) j個(1, 1) A芯片取自H k個(0, x) k-1個(x, x) j個(0, x) A芯片取自I k個(1, 1) k個(x, 0) j個(1, 1) - 考慮芯片爲偶數的極端情況，上述某次遞歸處理的集合中，如果芯片數是奇數，那麼在下一次遞歸開始時，可能會出現恰好有2k個好芯片和2k個壞芯片，測試 時恰好好芯片與壞芯片配對，壞芯片與壞芯片測試，那麼最後結果爲0，那麼可以知道在奇數時這樣得到的集合V規模與原規模相同，爲了解決這種情況，我們對結果爲(1, 1)的芯片對，只選取其中的一個留在V中，這樣V中就有k+⌈ j /2⌉個好芯片和k 個壞芯片，V中的好芯片還是多餘一半，那麼重複使用同時1中的算法，可以得到正確 結果，並且滿足題目對規模縮小的要求。
- 某次遞歸開始時，V中芯片數爲奇數，按照上面的算法，兩兩配對測試後，會出現一個沒有比較的芯片。對這個芯片需要決定是否放到V中，如果放在V中，不難想象，如果芯片是壞芯片，則V中好芯片和壞芯片可能各佔一半；如果不放在V中，那麼如果芯片是好的，則V中也可能出現好壞芯片各一半的情況。如何解決這個問題，考慮下次遞歸開始前的情況：
- 如果下次遞歸開始前，不論剩下的這個芯片是好是壞，，如果V中有奇數個芯片，則好芯片數目一定大於壞芯片數目，因爲如果剩下的芯片是壞芯片，相當於將此芯片放在U中，自然好芯片數目大於總數一半，如果剩下的芯片是好芯片，那麼當上次遞歸時V是奇數時遞歸後V還是V並且剩下的是好芯片的話，上次遞歸時V中必定有k個壞芯片和k+2i+1（0<=i）個好芯片，再加j個好芯片和j個壞芯片，則一共有k+j個壞芯片和k+2i+1+j個好芯片，剩下一個1好芯片後並進行配對測試，就剩k/2個壞芯片和k/2+i個好芯片。所以如果下次遞歸開始前V中有奇數個芯片，則不將剩下芯片放在V中
- 如果下次遞歸開始前，不算剩下的這個芯片，如果V中有偶數個芯片。也分兩種情況，當剩下芯片是好芯片時，最壞的情況就是好芯片和壞芯片各佔一半。當剩下的芯片是壞芯片時，那麼不算這個壞芯片，上次遞歸開始時V中好芯片至少比壞芯片多2個，所以遞歸後好芯片數肯定多與壞芯片，又因爲根據上面的假設，遞歸後V中有偶數個芯片，所以好芯片比壞芯片至少多兩個，加上這個壞芯片V中的好芯片也比壞芯片多。
- 根據2中分析，T(n)=T(⌈ n/2 ⌉)+D(n)+C(n)，顯然D(n)=Θ(⌊ n/2 ⌋)，C(n)是常數 爲Θ(1)。所以T(n)=T(⌈ n/2 ⌉)+Θ(⌊ n/2 ⌋)+Θ(1) = T(⌈ n/2 ⌉)+Θ(⌊ n/2 ⌋)，忽略上下界，利用主定理，得 T(n)=Θ(f(n))=Θ(n)。
