【數據結構】堆{更新中}

 

堆的產生

堆的產生問題背景：如何在一堆動態變化的數中，以O(1)的複雜度獲取最值。

堆的目標：一個數組，支持刪除元素和添加元素，保證首元素永遠是數堆中的最值。

數組樹形化：比如給出數組   ， 一層一層依次從左到右加入節點，構造出如下圖所示的一顆樹，該種樹形稱爲完全二叉樹。

完全二叉樹

對於數組 ，其所有元素的父子關係滿足。

完全二叉樹：每一層節點都是滿的，最底下一層葉子節點從左到右也是滿的。

完全二叉樹的數組化：可以用數組存儲，按層次從左到右遍歷樹節點。比如下圖。

完全二叉樹層次遍歷數組化

堆的定義：

• 邏輯上是一個完全二叉樹，支持刪除元素和添加元素，保證根元素永遠是數堆中的最值。其所有子樹也都是堆。
• 物理存儲上，因爲完全二叉樹的節點可由數組存儲，所以是一個數組，所有節點的父/子節點在數組中的位置，可由公式計算得到。以  爲例，數組位置從 0 開始計。  的位置是  ，其父節點位置是   ，左子節點下標是  ，右子節點下標是 。

堆示例：  就不是堆，因爲  不是最值，且以 爲根的子樹，根也不是最值。  是堆，樹形化後如下圖所示：

堆

 

建堆

建堆的目標：以前面的數組    爲例，調整元素位置，使之對應的完全二叉樹，符合堆定義。

建堆的思路：把問題分解，從最小的樹開始調整。

建堆過程圖示

• 先找到完全二叉樹中最低層的父節點。按父子關係公式逆運算，元素下標是   ，就是 。該樹只有最多三個節點，父節點與子節點中最大的節點互換位置，如果父節點最大就按兵不動。此時該元素(  )爲根的子樹滿足堆定義。
• 繼續往前調整節點，此時元素下標是 ，就是 ，父子節點進行同樣的比較互換操作  ，如果有更換(與  互換了)，那麼無法保證新的子節點值  是子樹的最大值，所以需要繼續將該子節點 和其子節點 進行同樣的比較互換操作，一直進行到比較時無需更換，或者沒有子節點爲止。
• 繼續往前發現已經到數組首元素前面了，結束。
• 前面對節點  一路向下的比較調整，稱爲向下調整。而前面從最低父節點 開始的建堆，我自稱爲向前建堆。

插入與刪除元素

插入和刪除的背景：