動態規劃算法典型問題

1. 什麼是動態規劃？
         和分治法一樣，動態規劃（dynamicprogramming）是通過組合子問題而解決整個問題的解。
         分治法是將問題劃分成一些獨立的子問題，遞歸地求解各子問題，然後合併子問題的解。
         動態規劃適用於子問題不是獨立的情況，也就是各子問題包含公共的子子問題。
         此時，分治法會做許多不必要的工作，即重複地求解公共的子問題。動態規劃算法對每個子問題只求解一次，將其結果保存起來，從而避免每次遇到各個子問題時重新計算答案。
2. 動態規劃算法的設計
兩種方法：
         自頂向下（又稱記憶化搜索、備忘錄）：基本上對應着遞歸函數實現，從大範圍開始計算，要注意不斷保存中間結果，避免重複計算
         自底向上（遞推）：從小範圍遞推計算到大範圍
動態規劃的重點：
         遞歸方程+邊界條件
3. 爬樓梯問題
         一個人每次只能走一層樓梯或者兩層樓梯，問走到第80層樓梯一共有多少種方法。
         設DP[i]爲走到第i層一共有多少種方法，那麼DP[80]即爲所求。很顯然DP[1]=1, DP[2]=2（走到第一層只有一種方法：就是走一層樓梯；走到第二層有兩種方法：走兩次一層樓梯或者走一次兩層樓梯）。同理，走到第i層樓梯，可以從i-1層走一層，或者從i-2走兩層。很容易得到：
         遞推公式：DP[i]=DP[i-1]+DP[i-2]
         邊界條件：DP[1]=1   DP[2]=2
         (a)自頂向下的解法：

long long dp[81] = {0};/*用於保存中間結果
否則會重複計算很多重複的子問題*/
long long DP(int n)
{
    if(dp[n])
        return dp[n];
    if(n == 1)
        return 1;
    if(n == 2)
        return 2;
    dp[n] = DP(n-1) + DP(n-2);
    return dp[n];
}

         (b)自底向上的解法：

int i;
long long dp[81]; /* 注意當n超過75時，結果值將超過int範圍 */
dp[1] = 1;
dp[2] = 2;
for(i=3; i <= 80; i++)
    dp[i] = dp[i-1] + dp[i-2];

4. 最長上升子序列
         對於序列：4 1 2 24，它的最長上升子序列是1 2 4，長度爲3。
         對於序列：4 2 4 25 6，它的最長上升子序列是2 4 5 6，長度爲4
         設a[i]表示原序列，設DP[i]表示以第i個數結尾的最長上升序列的長度，那麼很顯然想導出DP[i]的值，需要在DP[k](1<=k<i)中找出滿足a[k]<a[i]最大的一項。假設第kk項是我們找到的答案，那麼第i個數就可以接在第kk個數之後，成爲以第i個數結尾的最長升序列。如果沒有找到答案，換言之第i個數比前面的數都要小，那麼DP[i]=1，也即生成了從自己開始又以自己結尾的最長升序列。綜上，我們很容易得出：
         遞推公式：DP[i]=max(DP[k]+1,DP[i])  1<=k<i
         邊界條件：DP[i]=1                   1<=i<=n
         算法複雜度爲O(n^2)

void RiseSequence(int Array[], int num)
{
#define MAX_LENGTH  30
    struct
    {
        int SequenceValue;  /* max length ending with this num */
        int PreviousIndex;  /* record the previous number */
    }ArrayInfo[MAX_LENGTH], temp;
    int i;
    for(i = 0; i < num; i++)
    {
        int j;
        ArrayInfo[i].SequenceValue = 1;
        ArrayInfo[i].PreviousIndex = -1;
        for(j = 0; j < i; j++)
        {
            if(Array[j] < Array[i] && (ArrayInfo[j].SequenceValue + 1 > ArrayInfo[i].SequenceValue))
            {
                ArrayInfo[i].SequenceValue = ArrayInfo[j].SequenceValue + 1;
                ArrayInfo[i].PreviousIndex = j;
            }
        }
    }
    temp.SequenceValue = ArrayInfo[0].SequenceValue;
    for(i = 1; i < num; i++)
    {
        if(temp.SequenceValue < ArrayInfo[i].SequenceValue)
        {
            temp.SequenceValue = ArrayInfo[i].SequenceValue;
            temp.PreviousIndex = i;
        }
    }
    for(i = 0; i < temp.SequenceValue; i++)
    {
        printf("%d  ", Array[temp.PreviousIndex]);  /* in reverse order */
        temp.PreviousIndex = ArrayInfo[temp.PreviousIndex].PreviousIndex;
    }
    printf("\nthe max rising sequence length is %d\n", temp.SequenceValue);
}

5. 最長公共子序列
         給定兩個序列X和Y，稱序列Z是X和Y的公共子序列如果Z既是X的一個子序列，又是Y的一個子序列。例如，如果X={a,b,c,b,d,a,b} Y={b,d,c,a,b,a} 那麼序列{b,c,a}就是X和Y的一個公共子序列，但是它並不是X和Y的最長公共子序列，因爲它的長度爲3。而同爲X和Y公共子序列的{b,c,b,a}，長度爲4，因爲找不到長度爲5或更大的公共子序列，所以X和Y的最長公共子序列長度就爲4。
         假設兩個序列數組分別爲a，b。定義f(i,j)爲計算到a數組第i個數、b數組第j個數時所得到的最長公共子序列的長度。這時有兩種情況：
         1.假如a[i]=b[j]，那麼f(i,j)=f(i-1,j-1)+1
         2.假如a[i]!=b[j]，那麼f(i,j)=max(f(i-1,j),f(i,j-1))
         邊界條件爲：f(i,0)=0     1<=i<=len(a)
                               f(0,j)=0     1<=j<=len(b)
         算法複雜度：O(n^2)，len(a)表示數組a的長度。