直觀理解爲什麼分類問題用交叉熵損失而不用均方誤差損失?

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交叉熵損失與均方誤差損失

常規分類網絡最後的softmax層如下圖所示，傳統機器學習方法以此類比，

一共有$K$類，令網絡的輸出爲$[\hat{y}_1,\dots, \hat{y}_K]$，對應每個類別的概率，令label爲 $[y_1, \dots, y_K]$。對某個屬於$p$類的樣本，其label中$y_p=1$，$y_1, \dots, y_{p-1}, y_{p+1}, \dots, y_K$均爲0。

對這個樣本，交叉熵（cross entropy）損失爲
$\begin{aligned}L &= - (y_1 \log \hat{y}_1 + \dots + y_K \log \hat{y}_K) \\&= -y_p \log \hat{y}_p \\ &= - \log \hat{y}_p\end{aligned}$
**均方誤差損失（mean squared error，MSE）**爲
$\begin{aligned}L &= (y_1 - \hat{y}_1)^2 + \dots + (y_K - \hat{y}_K)^2 \\&= (1 - \hat{y}_p)^2 + (\hat{y}_1^2 + \dots + \hat{y}_{p-1}^2 + \hat{y}_{p+1}^2 + \dots + \hat{y}_K^2)\end{aligned}$
則$m$個樣本的損失爲
$\ell = \frac{1}{m} \sum_{i=1}^m L_i$
對比交叉熵損失與均方誤差損失，只看單個樣本的損失即可，下面從兩個角度進行分析。

損失函數角度

損失函數是網絡學習的指揮棒，它引導着網絡學習的方向——能讓損失函數變小的參數就是好參數。

所以，損失函數的選擇和設計要能表達你希望模型具有的性質與傾向。

對比交叉熵和均方誤差損失，可以發現，兩者均在$\hat{y} = y = 1$時取得最小值0，但在實踐中$\hat{y}_p$只會趨近於1而不是恰好等於1，在$\hat{y}_p < 1$的情況下，

• 交叉熵只與label類別有關，$\hat{y}_p$越趨近於1越好
• 均方誤差不僅與$\hat{y}_p$有關，還與其他項有關，它希望$\hat{y}_1, \dots, \hat{y}_{p-1}, \hat{y}_{p+1}, \dots, \hat{y}_K$越平均越好，即在$\frac{1-\hat{y}_p}{K-1}$時取得最小值

分類問題中，對於類別之間的相關性，我們缺乏先驗。

雖然我們知道，與“狗”相比，“貓”和“老虎”之間的相似度更高，但是這種關係在樣本標記之初是難以量化的，所以label都是one hot。

在這個前提下，均方誤差損失可能會給出錯誤的指示，比如貓、老虎、狗的3分類問題，label爲$[1, 0, 0]$，在均方誤差看來，預測爲$[0.8, 0.1, 0.1]$要比$[0.8, 0.15, 0.05]$要好，即認爲平均總比有傾向性要好，但這有悖我們的常識。

而對交叉熵損失，既然類別間複雜的相似度矩陣是難以量化的，索性只能關注樣本所屬的類別，只要$\hat{y}_p$越接近於1就好，這顯示是更合理的。

softmax反向傳播角度

softmax的作用是將$(-\infty, +\infty)$的幾個實數映射到$(0,1)$之間且之和爲1，以獲得某種概率解釋。

令softmax函數的輸入爲$z$，輸出爲$\hat{y}$，對結點$p$有，
$\hat{y}_p = \frac{e^{z_p}}{\sum_{k=1}^K e^{z_k}}$
$\hat{y}_p$不僅與$z_p$有關，還與$\{z_k | k\neq p\}$有關，這裏僅看$z_p $，則有
$\frac{\partial \hat{y}_p}{\partial z_p} = \hat{y}_p(1-\hat{y}_p)$
$\hat{y}_p$爲正確分類的概率，爲0時表示分類完全錯誤，越接近於1表示越正確。根據鏈式法則，按理來講，對與$z_p$相連的權重，損失函數的偏導會含有$\hat{y}_p(1-\hat{y}_p)$這一因子項，$\hat{y}_p = 0$時分類錯誤，但偏導爲0，權重不會更新，這顯然不對——分類越錯誤越需要對權重進行更新。

對交叉熵損失，
$\frac{\partial L}{\partial \hat{y}_p} = -\frac{1}{\hat{y}_p}$
則有
$\frac{\partial L}{\partial \hat{z}_p} = \frac{\partial L}{\partial \hat{y}_p} \cdot \frac{\partial \hat{y}_p}{\partial z_p} = \hat{y}_p - 1$
恰好將$\hat{y}_p(1-\hat{y}_p)$中的$\hat{y}_p$消掉，避免了上述情形的發生，且$\hat{y}_p$越接近於1，偏導越接近於0，即分類越正確越不需要更新權重，這與我們的期望相符。

而對均方誤差損失，
$\frac{\partial L}{\partial \hat{y}_p} = -2(1-\hat{y}_p)=2(\hat{y}_p - 1)$
則有，
$\frac{\partial L}{\partial \hat{z}_p} = \frac{\partial L}{\partial \hat{y}_p} \cdot \frac{\partial \hat{y}_p}{\partial z_p} = -2 \hat{y}_p (1 - \hat{y}_p)^2$
顯然，仍會發生上面所說的情況——$\hat{y}_p = 0$，分類錯誤，但不更新權重。

綜上，對分類問題而言，無論從損失函數角度還是softmax反向傳播角度，交叉熵都比均方誤差要好。

參考

• Loss Functions
• Why You Should Use Cross-Entropy Error Instead Of Classification Error Or Mean Squared Error For Neural Network Classifier Training