编程训练——有关计数的dp：划分数

题目描述：

将n个无区别的物品，划分成不超过m组，求出划分方法总数，输出总数模M的余数。
$1≤n,m≤1000$
$2≤M≤10000$

样例输入：

4 3 10000

将4划分为不超过3项：$1+1+2、2+2、1+3、4$，有4种划分方法，所以输出$4\%10000=4$

样例输出

4

算法

用动态规划，$dp[i][j]$表示将$j$划分成不超过$i$组。

比如说dp[3][7]表示将7划分成不超过3组，划分方法如下：

$1+1+5$
$1+2+4$
$1+3+3$
$2+2+3$
$2+5+0$
$1+6+0$
$3+4+0$
$7+0+0$

一共有8种划分方法，现在观察上述8种划分，既然是划分成不超过3项，干脆给未满3项的划分补0，使之变成3项。这样一来，上述8种划分方式就被分为不含0的划分和含0的划分。

$证明1，对于将7划分成不超过3项这个问题，不含0的划分总数等于dp[3][4]：$

对于所有将4划分成不超过3项：1+1+2、2+2+0、1+3+0、4+0+0（补0保证每种划分都是3项），将每种划分中每一项都加1：2+2+3、2+2+1、2+4+1、5+1+1，发现这些都是将7划分成不超过3项的结果中，不含0的划分。
反之，7划分成不超过3项的结果中，所有不含0的划分，都能将每一项减1变成将4划分为不超过3项。
所以，$dp[3][7]$中不含0的划分就等于$dp[3][4]$。

$证明2，对于将7划分成不超过3项这个问题，含0的划分总数等于dp[2][7]：$

对于所有将7划分为不超过2项的划分结果，加个0便成为了将7划分为不超过3项的结果。
对于所有将7划分为不超过3项的划分结果中，含0的划分，去掉一个0便得到了将7划分为不超过2项的划分结果。
所以，$dp[3][7]$中含0的划分就等于$dp[2][7]$。

综上所述，递推关系为：
$dp[i][j]=\left\{ \begin{aligned} dp[i][j-i]+dp[i-1][j],j≥i\\ dp[i-1][j],j<i \end{aligned} \right.$

初始值为：
$dp[0][非零数]=0,dp[..][0]=1$
没有任何非零数是0个数的和，数字0无论分成几项之和都只有一种方式。

代码

#include<stdio.h>

#define maxn 1005

int n, m, M;
int dp[maxn][maxn];

int main(){
    while(scanf("%d %d", &n, &m)==2){
        for(int i = 0;i <= m;i++){
            dp[i][0] = 1;
        }
        for(int j = 1;j <= n;j++){
            dp[0][j] = 0;
        }
        scanf("%d", &M);
        for(int i = 1;i <= m;i++){
            for(int j = 1;j <= n;j++){
                if(j>=i){
                    dp[i][j] = dp[i-1][j] + dp[i][j-i];
                }
                else{
                    dp[i][j] = dp[i-1][j];
                }
            }
        }
        printf("%d\n", dp[m][n]%M);
    }

    return 0;
}