編程訓練——01揹包算法的兩種解法

題目

$n$個物品，重量和價值分別存儲在數組$w$和數組$v$中，輸入總重量$W$，求選出不超過$W$的物品最大總價值。
每個物品只能選擇一次。

$n，w，v$，均爲$1～100$， $W$爲$1～10000$.

樣例輸入

4
2 1 3 2
3 2 4 2
5

$n=4$個物品，重量$w$分別是$2，1，3，2$，價值$v$分別是$3，2，4，2$，揹包重量$W$爲$5$.

樣例輸出

7

選出$0，1，3$號物品，剛好裝滿揹包，且總價值最大，爲$7$.

算法1

$dp[i][j]$表示從前$i$個物品（$0～i-1$號）中選出重量不超過$j$的總價值。如果不選擇第$i$個物品，則$dp[i][j]=dp[i-1][j]$；如果選擇第$i$個物品，則$dp[i][j]=dp[i-1][j-w[i-1]]+v[i-1]$（不過要注意判斷$j≥w[i-1]$，如果不成立說明揹包裝不下第$i$個物品），這樣可得遞推關係：
$dp[i][j]=\left\{ \begin{aligned} dp[i][j]=max{dp[i-1][j],dp[i-1][j-w[i-1]]+v[i-1]},j≥w[i-1]\\ dp[i][j]=dp[i-1][j],j<w[i] \end{aligned} \right.$
其中初始值爲$dp[0][j]=0$。

最終輸出$dp[n][W]$。

由於要從$dp[0][0]$更新到$dp[n][W]$，所以複雜度爲$O(nW)$。

代碼1

#include<stdio.h>
#include<math.h>

#define maxn 105

int max(int a, int b){
    return (a>b)?a:b;
}

int main(){
    int n, W;
    int w[maxn], v[maxn];
    int dp[maxn][maxn];
    while(scanf("%d %d", &n, &W)==2){
        for(int i = 1;i <= n;i++){
            scanf("%d", w + i);
        }
        for(int i = 1;i <= n;i++){
            scanf("%d", v + i);
        }
        for(int j = 0;j <= W;j++){
            dp[0][j] = 0;
        }
        for(int i = 1;i <= n;i++){
            dp[i][0] = 0;
        }
        for(int i = 1;i <= n;i++){
            for(int j = 1;j <= W;j++){
                if(w[i]>j)dp[i][j] = dp[i-1][j];
                else
                    dp[i][j] = max(dp[i-1][j], dp[i-1][j-w[i]]+v[i]);
            }
        }
        printf("%d\n", dp[n][W]);
    }

    return 0;
}

算法2

如果改變題目對輸入數據的約束：
$n，v$，均爲$1～100$， $w$爲$1～10^7$，$W$爲$1～10^9$.

已知複雜度爲$O(nW)$，而上述W非常大，這會導致複雜度很高。

不妨改變$dp[i][j]$爲前$i$個物品（$0～i-1$號）中選出價值爲$j$的最小重量，則需要從$dp[0][0]$更新到$dp[n][所有物品總價值]$，然後輸出滿足$dp[n][j]<W$的$j$的最大值。所有物品的總價值不會超過$\Sigma_{i=0}^{i=n-1}v[i]<=10000$，複雜度就降下來了。

如果不選擇第i個物品，則dp[i][j]對應從前$i-1$個物品中選出價值爲$j$，即$dp[i-1][j]$；如果選擇第$i$個物品，則$dp[i][j]$對應$dp[i-1][j-v[i-1]]+w[i-1]$（記得先判斷$j≥v[i-1]$），這樣得到遞推關係：
$dp[i][j]=\left\{ \begin{aligned} dp[i][j]=min{dp[i-1][j],dp[i-1][j-v[i-1]]+w[i-1]},j≥v[i-1]\\ dp[i][j]=dp[i-1][j],j<v[i] \end{aligned} \right.$
初始值爲$dp[0][0]=0$，$dp[0][非零]=INF$。輸出滿足$dp[n][j]<W$的$j$的最大值。

#include<stdio.h>

#define maxn 105
#define INF 1000000005	// 所有物品總重最多爲10億
#define maxv 105

int min(int a, int b){
    return (a<b)?a:b;
}

int main(){
    int n, W;
    int v[maxn], w[maxn];
    int dp[maxn][maxn * maxv];
    int totalvalue, res;
    while(scanf("%d", &n)==1){
        for(int i = 0;i < n;i++){
            scanf("%d", &w[i]);
        }
        totalvalue = 0;
        for(int i = 0;i < n;i++){
            scanf("%d", &v[i]);
            totalvalue += v[i];
        }
        scanf("%d", & W);
        for(int j = 1;j <= totalvalue;j++){
            dp[0][j] = INF;
        }
        dp[0][0] = 0;
        for(int i = 1;i <= n;i++){
            for(int j = 0;j <= totalvalue;j++){
                if(j>=v[i-1]){
                    dp[i][j] = min(dp[i-1][j],dp[i-1][j-v[i-1]]+w[i-1]);
                }
                else dp[i][j] = dp[i-1][j];
            }
        }

        // 輸出dp[n][j]中不超過W的最大的j
        res = 0;
        for(int j = totalvalue;j >= 0;j--){
            if(dp[n][j]<=W){
                res = j;
                break;
            }
        }
        printf("%d\n", res);
    }

    return 0;
}