編程訓練——有關計數的dp：劃分數

題目描述：

將n個無區別的物品，劃分成不超過m組，求出劃分方法總數，輸出總數模M的餘數。
$1≤n,m≤1000$
$2≤M≤10000$

樣例輸入：

4 3 10000

將4劃分爲不超過3項：$1+1+2、2+2、1+3、4$，有4種劃分方法，所以輸出$4\%10000=4$

樣例輸出

4

算法

用動態規劃，$dp[i][j]$表示將$j$劃分成不超過$i$組。

比如說dp[3][7]表示將7劃分成不超過3組，劃分方法如下：

$1+1+5$
$1+2+4$
$1+3+3$
$2+2+3$
$2+5+0$
$1+6+0$
$3+4+0$
$7+0+0$

一共有8種劃分方法，現在觀察上述8種劃分，既然是劃分成不超過3項，乾脆給未滿3項的劃分補0，使之變成3項。這樣一來，上述8種劃分方式就被分爲不含0的劃分和含0的劃分。

$證明1，對於將7劃分成不超過3項這個問題，不含0的劃分總數等於dp[3][4]：$

對於所有將4劃分成不超過3項：1+1+2、2+2+0、1+3+0、4+0+0（補0保證每種劃分都是3項），將每種劃分中每一項都加1：2+2+3、2+2+1、2+4+1、5+1+1，發現這些都是將7劃分成不超過3項的結果中，不含0的劃分。
反之，7劃分成不超過3項的結果中，所有不含0的劃分，都能將每一項減1變成將4劃分爲不超過3項。
所以，$dp[3][7]$中不含0的劃分就等於$dp[3][4]$。

$證明2，對於將7劃分成不超過3項這個問題，含0的劃分總數等於dp[2][7]：$

對於所有將7劃分爲不超過2項的劃分結果，加個0便成爲了將7劃分爲不超過3項的結果。
對於所有將7劃分爲不超過3項的劃分結果中，含0的劃分，去掉一個0便得到了將7劃分爲不超過2項的劃分結果。
所以，$dp[3][7]$中含0的劃分就等於$dp[2][7]$。

綜上所述，遞推關係爲：
$dp[i][j]=\left\{ \begin{aligned} dp[i][j-i]+dp[i-1][j],j≥i\\ dp[i-1][j],j<i \end{aligned} \right.$

初始值爲：
$dp[0][非零數]=0,dp[..][0]=1$
沒有任何非零數是0個數的和，數字0無論分成幾項之和都只有一種方式。

代碼

#include<stdio.h>

#define maxn 1005

int n, m, M;
int dp[maxn][maxn];

int main(){
    while(scanf("%d %d", &n, &m)==2){
        for(int i = 0;i <= m;i++){
            dp[i][0] = 1;
        }
        for(int j = 1;j <= n;j++){
            dp[0][j] = 0;
        }
        scanf("%d", &M);
        for(int i = 1;i <= m;i++){
            for(int j = 1;j <= n;j++){
                if(j>=i){
                    dp[i][j] = dp[i-1][j] + dp[i][j-i];
                }
                else{
                    dp[i][j] = dp[i-1][j];
                }
            }
        }
        printf("%d\n", dp[m][n]%M);
    }

    return 0;
}