编程训练——01揹包算法的两种解法

题目

$n$个物品，重量和价值分别存储在数组$w$和数组$v$中，输入总重量$W$，求选出不超过$W$的物品最大总价值。
每个物品只能选择一次。

$n，w，v$，均为$1～100$， $W$为$1～10000$.

样例输入

4
2 1 3 2
3 2 4 2
5

$n=4$个物品，重量$w$分别是$2，1，3，2$，价值$v$分别是$3，2，4，2$，揹包重量$W$为$5$.

样例输出

7

选出$0，1，3$号物品，刚好装满揹包，且总价值最大，为$7$.

算法1

$dp[i][j]$表示从前$i$个物品（$0～i-1$号）中选出重量不超过$j$的总价值。如果不选择第$i$个物品，则$dp[i][j]=dp[i-1][j]$；如果选择第$i$个物品，则$dp[i][j]=dp[i-1][j-w[i-1]]+v[i-1]$（不过要注意判断$j≥w[i-1]$，如果不成立说明揹包装不下第$i$个物品），这样可得递推关系：
$dp[i][j]=\left\{ \begin{aligned} dp[i][j]=max{dp[i-1][j],dp[i-1][j-w[i-1]]+v[i-1]},j≥w[i-1]\\ dp[i][j]=dp[i-1][j],j<w[i] \end{aligned} \right.$
其中初始值为$dp[0][j]=0$。

最终输出$dp[n][W]$。

由于要从$dp[0][0]$更新到$dp[n][W]$，所以复杂度为$O(nW)$。

代码1

#include<stdio.h>
#include<math.h>

#define maxn 105

int max(int a, int b){
    return (a>b)?a:b;
}

int main(){
    int n, W;
    int w[maxn], v[maxn];
    int dp[maxn][maxn];
    while(scanf("%d %d", &n, &W)==2){
        for(int i = 1;i <= n;i++){
            scanf("%d", w + i);
        }
        for(int i = 1;i <= n;i++){
            scanf("%d", v + i);
        }
        for(int j = 0;j <= W;j++){
            dp[0][j] = 0;
        }
        for(int i = 1;i <= n;i++){
            dp[i][0] = 0;
        }
        for(int i = 1;i <= n;i++){
            for(int j = 1;j <= W;j++){
                if(w[i]>j)dp[i][j] = dp[i-1][j];
                else
                    dp[i][j] = max(dp[i-1][j], dp[i-1][j-w[i]]+v[i]);
            }
        }
        printf("%d\n", dp[n][W]);
    }

    return 0;
}

算法2

如果改变题目对输入数据的约束：
$n，v$，均为$1～100$， $w$为$1～10^7$，$W$为$1～10^9$.

已知复杂度为$O(nW)$，而上述W非常大，这会导致复杂度很高。

不妨改变$dp[i][j]$为前$i$个物品（$0～i-1$号）中选出价值为$j$的最小重量，则需要从$dp[0][0]$更新到$dp[n][所有物品总价值]$，然后输出满足$dp[n][j]<W$的$j$的最大值。所有物品的总价值不会超过$\Sigma_{i=0}^{i=n-1}v[i]<=10000$，复杂度就降下来了。

如果不选择第i个物品，则dp[i][j]对应从前$i-1$个物品中选出价值为$j$，即$dp[i-1][j]$；如果选择第$i$个物品，则$dp[i][j]$对应$dp[i-1][j-v[i-1]]+w[i-1]$（记得先判断$j≥v[i-1]$），这样得到递推关系：
$dp[i][j]=\left\{ \begin{aligned} dp[i][j]=min{dp[i-1][j],dp[i-1][j-v[i-1]]+w[i-1]},j≥v[i-1]\\ dp[i][j]=dp[i-1][j],j<v[i] \end{aligned} \right.$
初始值为$dp[0][0]=0$，$dp[0][非零]=INF$。输出满足$dp[n][j]<W$的$j$的最大值。

#include<stdio.h>

#define maxn 105
#define INF 1000000005	// 所有物品总重最多为10亿
#define maxv 105

int min(int a, int b){
    return (a<b)?a:b;
}

int main(){
    int n, W;
    int v[maxn], w[maxn];
    int dp[maxn][maxn * maxv];
    int totalvalue, res;
    while(scanf("%d", &n)==1){
        for(int i = 0;i < n;i++){
            scanf("%d", &w[i]);
        }
        totalvalue = 0;
        for(int i = 0;i < n;i++){
            scanf("%d", &v[i]);
            totalvalue += v[i];
        }
        scanf("%d", & W);
        for(int j = 1;j <= totalvalue;j++){
            dp[0][j] = INF;
        }
        dp[0][0] = 0;
        for(int i = 1;i <= n;i++){
            for(int j = 0;j <= totalvalue;j++){
                if(j>=v[i-1]){
                    dp[i][j] = min(dp[i-1][j],dp[i-1][j-v[i-1]]+w[i-1]);
                }
                else dp[i][j] = dp[i-1][j];
            }
        }

        // 输出dp[n][j]中不超过W的最大的j
        res = 0;
        for(int j = totalvalue;j >= 0;j--){
            if(dp[n][j]<=W){
                res = j;
                break;
            }
        }
        printf("%d\n", res);
    }

    return 0;
}