POJ-1067 取石子游戲解題報告

Description

有兩堆石子，數量任意，可以不同。遊戲開始由兩個人輪流取石子。遊戲規定，每次有兩種不同的取法，一是可以在任意的一堆中取走任意多的石子；二是可以在兩堆中同時取走相同數量的石子。最後把石子全部取完者爲勝者。現在給出初始的兩堆石子的數目，如果輪到你先取，假設雙方都採取最好的策略，問最後你是勝者還是敗者。

Input

輸入包含若干行，表示若干種石子的初始情況，其中每一行包含兩個非負整數a和b，表示兩堆石子的數目，a和b都不大於1,000,000,000。

Output

輸出對應也有若干行，每行包含一個數字1或0，如果最後你是勝者，則爲1，反之，則爲0。

Sample Input

2 1
8 4
4 7

Sample Output

0
1

題目鏈接：http://poj.org/problem?id=1067

解法類型：威佐夫博奕

解題思路：就是一個經典的威作福博弈，知道公式就很水了。現給出我看到的一個很牛叉的證明：

簡單分析一下，容易知道兩堆石頭地位是一樣的，我們用餘下的石子數(a,b)來表示狀態，並畫在平面直角座標系上。

用之前的定理：有限個結點的無迴路有向圖有唯一的核中所述的方法尋找必敗態。先標出(0,0)，然後劃去所有(0,k),(k,0),(k,k)的格點；然後找y=x上方未被劃去的格點，標出(1,2)，然後劃去(1,k),(k,2),(1+k,2+k)，同時標出對稱點(2,1)，劃去(2,k),(1,k),(2+k,1+k)；然後在未被劃去的點中在y=x上方再找出(3,5)。。。按照這樣的方法做下去，如果只列出a<=b的必敗態的話，前面的一些是(0,0),(1,2),(3,5),(4,7),(6,10),…

接下來就是找規律的過程了，忽略(0,0)，記第n組必敗態爲(a[n],b[n])

命題一：a[n+1]=前n組必敗態中未出現過的最小正整數

[分析]：如果a[n+1]不是未出現的數中最小的，那麼可以從a[n+1]的狀態走到一個使a[n+1]更小的狀態，和我們的尋找方法矛盾。

命題二：b[n]=a[n]+n

[分析]：歸納法：若前k個必敗態分別爲，下證：第k+1個必敗態爲

從該第k+1個必敗態出發，一共可能走向三類狀態，從左邊堆拿走一些，從右邊堆拿走一些，或者從兩堆中拿走一些．下面證明這三類都是勝態．

情況一：由命題一，任意一個比a[k+1]小的數都在之前的必敗態中出現過，一旦把左邊堆拿少了，我們只要再拿成那個數相應的必敗態即可。

情況二（從右邊堆拿走不太多）：這使得兩堆之間的差變小了，比如拿成了，則可再拿成；

情況二（從右邊堆拿走很多）：使得右邊一堆比左邊一堆更少，這時類似於情況一，比如拿成了 (其中a[m] ；

情況三：比如拿成，則可再拿成．

綜上所述，任何從出發走向的狀態都可以走回核中．故原命題成立．

以上兩個命題對於確定(a[n],b[n])是完備的了，給定(0,0)然後按照這兩個命題，就可以寫出(1,2),(3,5),(4,7),…

這樣我們得到了這個數列的遞推式，以下我們把這兩個命題當成是(a[n],b[n])的定義。

先證明兩個性質：

性質一：核中的a[n],b[n]遍歷所有正整數。

[分析]：由命題一，二可得a[n],b[n]是遞增的，且由a[n]的定義顯然。

性質二：A={a[n]:n=1,2,3,…},B={b[n]:n=1,2,3,…}，則集合A,B不交。

[分析]：由核是內固集，顯然。

看到這裏大家有沒有想到Beatty序列呢，實際上a[n]和b[n]就是一個Beatty序列。

，有，解方程

得，到此，我們找到了該必敗態的通項公式。

實際上這組Beatty序列還有一些別的性質，比如當一個數是Fibonacci數的時候，另一個數也是Fibonacci數；而且兩者的比值也越來越接近黃金比，這些性質在得到通項公式之後不難證明。

總的來說，這個問題給我們了哪些啓示呢？首先用定理所說的方法找核，然後給出核的規律（遞推，或是通項）並且證明。最後附上一張對應的必敗態圖.

PS：用圖來表示博弈過程，好想法啊。~

算法實現：
```
//STATUS:C++_AC_32MS_172k
#include<stdio.h>
#include<math.h>
const double x=((sqrt(5.0)+1)/2);
int main()
{
//	freopen("in.txt","r",stdin);
	int a,b,k,ta;
	while(~scanf("%d%d",&a,&b))
	{
		if(a>b){int t=a;a=b,b=t;}
		k=b-a;
		ta=(int)floor(k*x);
		printf("%d\n",ta==a?0:1);
	}
	return 0;
}
```