nowcoder13229 二分圖染色(弱化版)

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題解

先假想一開始所有的邊都是綠色的，我現在要把一些染成紅色，把一些邊染成藍色

假設只有紅色，那麼可以通過遞推：$f_n = 2if_{i-1} -(i-1)^2 f_{i-2}$，得到方案數

這個遞推怎麼來的呢？

首先$f_0=1,f_1=2$，這個沒啥好解釋的

現在考慮我每次在下方加入兩個點

那麼第一種情況：這兩個點都沒有出度，這樣是$f_{i-1}$

第二種情況：這兩個點之間連一條邊，這樣是$f_{i-1}$

第三種情況：左下角這個點有出度，但是沒有連向右下角這個點，這樣是$(i-1)f_{i-1}$；

現在發現少算了一種情況，就是右下角這個點有出度，且沒有連向左下角的點，但是我如果直接加$(i-1)f_{i-1}$呢，又多算了“左下角、右下角的點都有出度，但是沒有連向對方”，再把這類扣除，就是$-(i-1)^2f_{i-2}$

綜上，$f_n = 2if_{i-1} -(i-1)^2 f_{i-2}$

最後容斥計算答案：

$ans = \sum_{i=0}^n (-1)^i \binom{n}{i}^2 i! f_{n-i}^2$

代碼

#include <bits/stdc++.h>
#include <ext/pb_ds/assoc_container.hpp>
#include <ext/pb_ds/tree_policy.hpp>
#define iinf 0x3f3f3f3f
#define linf (1ll<<60)
#define eps 1e-8
#define maxn 10000010
#define cl(x) memset(x,0,sizeof(x))
#define rep(i,a,b) for(i=a;i<=b;i++)
#define em(x) emplace(x)
#define emb(x) emplace_back(x)
#define emf(x) emplace_front(x)
#define fi first
#define se second
#define de(x) cerr<<#x<<" = "<<x<<endl
using namespace std;
using namespace __gnu_pbds;
typedef long long ll;
typedef pair<int,int> pii;
typedef pair<ll,ll> pll;
ll read(ll x=0)
{
    ll c, f(1);
    for(c=getchar();!isdigit(c);c=getchar())if(c=='-')f=-f;
    for(;isdigit(c);c=getchar())x=x*10+c-0x30;
    return f*x;
}
#define mod 1'000'000'007ll
#define sqr(x) ((x)*(x))
ll n, inv[maxn], fact[maxn], _fact[maxn], ans, f[maxn], C[maxn];
int main()
{
    n=read();
    ll i;
    inv[1]=1;
    rep(i,2,n)inv[i]=inv[mod%i]*(mod-mod/i)%mod;
    fact[0]=_fact[0]=1;
    rep(i,1,n)fact[i]=fact[i-1]*i%mod, _fact[i]=_fact[i-1]*inv[i]%mod;
    C[0]=1;
    rep(i,1,n)C[i]=(C[i-1]*inv[i]%mod*(n-i+1))%mod;
    f[0]=1, f[1]=2;
    rep(i,2,n)f[i] = ( 2*i*f[i-1]%mod - ( sqr(i-1)%mod )*f[i-2] )%mod;
    rep(i,0,n)
    {
        ll t = ( sqr(C[i])%mod ) * fact[i]%mod * ( sqr(f[n-i])%mod ) %mod;
        if(i&1)ans-=t;
        else ans+=t;
        ans%=mod;
    }
    printf("%lld",(ans+mod)%mod);
    return 0;
}