[BZOJ2440]完全平方數

題目

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題目概要
求這個集合中第 $k$ 小的值：$\big\{x\in\Z\big|\mu(x)\ne 0,x\ne 1\big\}$

數據範圍與約定
數據組數 $T\le 50$ ，$k\le 10^9$ 。

思路

其實蠻簡單一道題？ 我一開始想，每個質因數的指數不超過 $1$ ，那麼最多只需要 $30$ 個質數。於是我把最小的 $30$ 個質數乘起來，發現爆 $long\;long$ 了，以爲不可做……

仔細想想，只用前 $30$ 個質數固然可以湊出 $k$ 個數，但是使用其他的質數，也可以得到一些數字，並且比只用前 $30$ 個質數的最大數更小。用一個非常粗略的估計：$x$ 以內的質數個數約爲 $\frac{x}{\ln x}$ ，在這個值大於 $10^9$ 的時候，就一定可行了。$x=10^{11}$ 時，已經滿足，顯然真正的第 $10^9$ 個數會小很多。

既然上界是有限的，就可以進行二分。既然不能含有平方因子，就直接做容斥，$\sum_{p_1\in P}\left\lfloor\frac{n}{p_1^2}\right\rfloor-\sum_{p_1,p_2\in P}\left\lfloor\frac{n}{p_1^2p_2^2}\right\rfloor+\cdots$

就可以用到 $\mu$ 了，可以寫成 $\sum_{x=2}^{+\infty}\mu(x)\left\lfloor\frac{n}{x^2}\right\rfloor$

複雜度就是 $\mathcal O(\sqrt{n}\log n)$ ，$n$ 是答案。

代碼

這位召喚師設置了查閱權限哦~