[XJOI趣味賽]抗疫鬥爭

題目

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題目概要
博弈規則如下：

• 一堆石子輪流取，取完者勝。
• 第一次可以取任意多個，甚至取完。但不能不取。
• 從第二次開始，取的數量都不能超過上一次（對手的那一次），但不能不取。

顯然先手必勝。但是第一次最少取多少個能夠必勝呢？石子數爲 $n$ 時，這個問題的答案爲 $h_n$ 。

現在，咱們只需要求出 $\sum_{i=1}^{n}\sum_{d|i}h_d$ 就行了！$n$ 是給定的！

沒必要輸出辣麼長的數字，咱們取模 $998244353$ 再輸出吧。

數據範圍與約定
對於 $95\%$ 的數據，$n\le 5\times 10^{13}$

對於 $100\%$ 的數據，$n\le 10^{15}$

思路

先找找 $h_n$ 的規律。注意到在 $n$ 爲奇數時，先手取一個石子就能獲勝——以後二者都只能一個一個的拿。那麼，在 $n$ 爲偶數時，不會有人想要後手得到 $n'$ 爲奇數的情況。更確切地說，二者每次拿走石子的數量都是偶數。所以，把兩個石頭捆綁在一起，我們得到 $h_{2n}=2h_n$

遞歸終點是 $n$ 爲奇數，所以我們可以直接寫出 $h_n=\max_{2^k|n}k=lowbit(n)$

對於 $95\%$ 的數據，可以 $\mathcal O(\sqrt n \log n)$ 整除分塊。$\mathcal O(\log n)$ 是用來計算 $h$ 的前綴和的。

若想得到更高分，枚舉可能的 $h$ 的取值。記 $g(n)=\sum_{i=1}^{n}\lfloor\frac{n}{i}\rfloor$ ，那麼答案就是 $\sum_{k=0}^{+\infty}2^k\left[g\middle(\middle\lfloor\frac{n}{2^k}\middle\rfloor\middle)-g\middle(\middle\lfloor\frac{n}{2^{k+1}}\middle\rfloor\middle)\right]$

爲什麼是這個式子？因爲 $g(n)=\sum_{xy\le n}1$ ，所以 $g(\lfloor\frac{n}{2^k}\rfloor)=\sum_{xy\le\frac{n}{2^k}}1=\sum_{2^kxy\le n} 1=\sum_{(2^kx)y\le n}1$ 。

說白了，我們強硬的給其中一個數增添 $2^k$ 這個因數。

但是也可能超過 $2^k$ 啊？所以我們減去 $g(\lfloor\frac{n}{2^{k+1}}\rfloor)$ 來修正。

計算 $2^k$ 很快，計算 $g(n)$ 需要整除分塊 $\mathcal O(\sqrt n)$ ，所以我們整理一下，得到 $ans=g(n)+\sum_{k=1}^{+\infty}(2^k-2^{k-1})g\left(\middle\lfloor\frac{n}{2^k}\middle\rfloor\right)$

時間複雜度呢？顯然應該是 $\sum_{k=0}^{+\infty}\sqrt{\frac{n}{2^k}}=\sqrt n\sum_{k=0}^{+\infty}\left(\frac{1}{\sqrt{2}}\right)^k=(2+\sqrt 2)\sqrt n$

所以總複雜度是 $\mathcal O(\sqrt n)$ 的。儘管我仍然過不了？大概是因爲太卡常，所以只多給了五分吧

代碼

#include <cstdio>
#include <iostream>
#include <vector>
#include <algorithm>
#include <cstring>
using namespace std;
typedef long long int_;
inline int readint() {
	int a = 0; char c = getchar(), f = 1;
	for(; c<'0' or c>'9'; c=getchar())
		if(c == '-') f = -f;
	for(; '0'<=c and c<='9'; c=getchar())
		a = (a<<3)+(a<<1)+(c^48);
	return a*f;
}
void writeint(int_ x){
	if(x < 0) putchar('-'), x = -x;
	if(x > 9) writeint(x/10);
	putchar((x%10)^48);
}
# define MB template < typename T >
MB void getMax(T &a,const T &b){ if(a < b) a = b; }
MB void getMin(T &a,const T &b){ if(b < a) a = b; }
# define FOR(i,n) for(int i=0; i<(n); ++i)

const int Mod = 998244353;
int g(int_ n){
	int_ res = 0;
	for(int_ l=1,r; l<=n; l=r)
		r = n/(n/l)+1, res += (r-l)*(n/l);
	return res%Mod;
}

int main(){
	int_ n, ans = 0; cin >> n;
	for(int k=1; (1ll<<k)<=n; ++k){
		ans += (1ll<<k>>1)%Mod*g(n/(1ll<<k))%Mod;
		if(ans >= Mod) ans -= Mod;
	}
	cout << (ans+g(n))%Mod << endl;
	return 0;
}