动态顺序统计

在之前的随机选择算法中，我们可以很快的在集合中寻找到第i小的元素，然而，这样的集合并不支持动态的扩充。这一节里，将介绍通过红黑树（具体可参考红黑树1，红黑树2两篇文章）的扩充，使得任意的顺序统计量都可以在短时间内查找到，而这样的数据结构同时也支持数据的更新。

这样的数据结构称为顺序统计树，如下图。树的节点大致上与红黑树的类似，但增加了一个记录子树大小的域size[x]，定义哨兵Nil的子树大小为0，即size[Nil[T]]=0。有等式size[x]=size[left[x]]+size[right[x]]+1

顺序统计树主要有两种算法：

1.检索具有给定排序的元素

其实就是x的顺序就保存在他的左孩子的节点上，所以每次和左孩子记录的值进行比较，匹配成功，则直接返回；比左孩子小了，那么在做孩子处递归调用算法；否则在右孩子处递归调用算法。

2.确定一个元素的秩

和上一个差不多，只是传入的节点，返回的节点所处的位置。

所有节点在插入的时候时需要注意，因为插入的过程就是和某一个节点比较大小，如果小于这个节点，那么就往左孩子处递归调用算法，否则的话向右孩子处递归。每次递归的时候，都需要给当前节点的size位加上1。一直递归到底层，这个时候，由于红黑树的插入性质，需要做左旋或者右旋的一些操作（颜色的改变不会影响到子树的大小），旋转之后需要重新确定好节点的大小。

下面给出代码（基于之前的红黑树的，所以嘛有点长==）：

PS：其实改动的代码不到100行，其他的就是红黑树的源代码

#include <stdio.h>
#include <stdlib.h>

typedef enum Color{Red,Black}Color;

/*这里定义树的结构，每个节点为Node结构体，再加上一个头指针Tree*
在红黑树中，多了一个颜色的域Color,这里用枚举表示
顺序统计数中，多了一个表示子树大小的Size*/
typedef struct Node
{
    int data;
    Color color;
    struct Node* left;
    struct Node* right;
    struct Node* parent;
    int Size;
}Node;

Node Nil={0,Black,NULL,NULL,NULL};

typedef struct Tree
{
    Node* Root;
}Tree;


/*一下的操作主要针对普通的二叉搜索树进行，但一些搜索、前去后继等操作也是可以直接用的*/


/*对树进行中序遍历*/
void Mid_Traverse(Node* Root)
{
    if(Root!=&Nil)
    {
        Mid_Traverse(Root->left);
        printf("%d ",Root->data);
        Mid_Traverse(Root->right);
    }
}


/*普通二叉树的插入操作，对红黑树不能用这个函数！*/
/*以下函数是对树进行插入操作
定义两个Node变量x和y，一开始x指向根节点，y为空
然后将x的值一次往下递减向左边下降还是右边依据和z的比较,而y的值一直都是x的父节点，以防当x为空时，就找不到这棵树了
然后让z的父节点指向y，相当于把z放到x的地方
当然，需要判断这棵树是否一开始就是空的,如果y是空的话，那么直接把更节点给z
否则的话更具z的值与y比较大小，判断是把z放到左边还是右边*/
void Tree_Insert(Tree* T,Node* z)
{
    Node* y=NULL;
    Node* x=T->Root;
    while(x!=NULL)
    {
        y=x;
        if(z->data<x->data)
            x=x->left;
        else
            x=x->right;
    }
    z->parent=y;
    if(y==NULL)
    {
        T->Root=z;
    }
    else
    {
        if(z->data<y->data)
            y->left=z;
        else
            y->right=z;
    }
}

/*查找函数，从根节点进行递归查找，当查找的当前节点为空或者节点就是要找的那个的话，停止查找
否则向下进行查找，向左边还是向右边取决于节点的值与k的比较*/
Node* Tree_Search(Node* Root,int k)
{
    if(Root==NULL||k==Root->data)
        return Root;
    if(k<Root->data)
        return Tree_Search(Root->left,k);
    else
        return Tree_Search(Root->right,k);
}

/*下面两个函数返回树的最小值和最大值，就是一直往左走或者一直往右走就行了*/
Node* Tree_Minimum(Node* Root)
{
    while(Root->left!=&Nil)
        Root=Root->left;
    return Root;
}

Node* Tree_Maximum(Node* Root)
{
    while(Root->right!=&Nil)
        Root=Root->right;
    return Root;
}

/*某一个节点的后继的查找
如果这个节点的右孩子不为空的话，那么只要以右孩子为根节点，返回右子树的最小值就行了
否则的话，就要向上回溯,节点y首先指向x的父节点
只要y不为空（此时到了根节点了，直接拿来就行了），并且x是y的右孩子（说明了x的值还是大于y的。。）的话，就一直向上回溯
两种情况停止循环：一个是到达了根节点了，中序遍历的话此时下一个节点必然是根节点
另一种情况是当x是y的左孩子，那么y的是就是大于x的了，那么x的下一个元素必然是y了*/
Node* Tree_Successor(Node* x)
{
    if(x->right!=&Nil)
        return Tree_Minimum(x->right);
    Node* y=x->parent;
    while(y!=&Nil&&x==y->right)
    {
        x=y;
        y=y->parent;
    }
    return y;
}

/*前驱的查找与上面的分析类似*/
Node* Tree_Predecessor(Node* x)
{
    if(x->left!=&Nil)
        return Tree_Maximum(x->left);
    Node* y=x->parent;
    while(y!=&Nil&&x==y->left)
    {
        x=y;
        y=y->parent;
    }
    return y;
}

/*普通的二叉搜索树的删除操作，红黑树不能用这个！ */
/*节点的删除操作，前面几行算法首先确定需要删除的元素y，z有两个孩子的话那么删除z的后继，否则直接删除z
然后将x置为y的非空子女，若果y无子女的话，那么x就设置为空
如果x非空的话，通过修改指针将y删除
否则的话还要考虑边界情况，若果要删除的y是根节点的话，那么直接把根节点给x（注意，x要么为空，要么就是y的唯一一个子树）
如果y是左孩子的话，那么把x放在y的父节点的左孩子位置上，反之放在右孩子上
最后判定，如果y是z的后继的话，就是说删除掉的节点不是z的话，那么要把z的值赋值给y*/
Node* Tree_Delete(Tree* T,Node* z)
{
    Node* y;Node* x;
    if(z->left==NULL||z->right==NULL)
        y=z;
    else
        y=Tree_Successor(z);
    if(y->left!=NULL)
        x=y->left;
    else
        x=y->right;
    if(x!=NULL)
        x->parent=y->parent;
    if(y->parent==NULL)
        T->Root=x;
    else
    {
        if(y==y->parent->left)
            y->parent->left=x;
        else
            y->parent->right=x;
    }
    if(y!=z)
        z->data=y->data;
    return y;
}

/*以下是对节点x进行左旋左旋操作
先完成Y的左孩子到X的连接，首先用节点Y指向X的右孩子,把Y的左孩子放到X的右孩子处
判断，如果Y的左孩子是不空的话，那么直接把X作为Y的左孩子的父节点
然后完成Y节点和X的父节点的连接。把Y的父节点直接连向X的父节点，当然，如果X的父节点是空的话，那么根节点就是Y
判断两种情况，如果X是左孩子的话，那么那么Y就是左孩子，否则Y是右孩子
最后完成X于Y的连接，把X的父节点为Y，Y的左孩子为X
注意，顺序统计数中需要加上最后两行代码，右旋也是如此*/
void Left_Rotate(Tree* T,Node* X)
{
    Node* Y=X->right;
    X->right=Y->left;
    if(Y->left!=&Nil)
        Y->left->parent=X;
    Y->parent=X->parent;
    if(X->parent==&Nil)
        T->Root=Y;
    else if(X->parent->left==X)
        X->parent->left=Y;
    else
        X->parent->right=Y;
    Y->left=X;
    X->parent=Y;
    Y->Size=X->Size;
    X->Size=X->left->Size+X->right->Size+1;
}

/*右旋操作，和左旋操作完全一样，代码是对称的*/
void Right_Rotate(Tree* T,Node* Y)
{
    Node* X=Y->left;
    Y->left=X->right;
    if(X->right!=&Nil)
        X->right->parent=Y;
    X->parent=Y->parent;
    if(Y->parent==&Nil)
        T->Root=X;
    else if(Y->parent->left==Y)
        Y->parent->left=X;
    else
        Y->parent->right=X;
    X->right=Y;
    Y->parent=X;
    X->Size=Y->Size;
    Y->Size=X->left->Size+X->right->Size+1;
}

/*以下是对红黑树插入之后的修正操作
下面的循环条件就是按照之前的那三种情形来实现的
首先，判读z的父节点颜色是否为红色的，如果是黑色的话，就能不需要任何修正，但如果是红色的话，就要进行下一步
判断z的父节点是爷爷节点的左孩子还是右孩子，这样就区分为上面曾讲到的情形A和情形B
首先判断的是情形A，B的话与之类似就不讲了。在情形A中，父节点处于左孩子位置上，接下来的一步，就要判断z的大叔节点了
令Y等于z的大叔节点，就是z的爷爷节点的右孩子（情形A），如果大叔节点是红色的话，那么恭喜可以直接重新上色，为情形1
但如果大叔节点不是红色的呢？那么就要判断情形2还是情形3
如果z是右孩子的话，那么就是情形2，此时对z的父节点进行左旋操作，并直接把z指向他的父节点。
然后重新上色，把z的父节点上成黑色，爷爷节点上成红色，然后对爷爷节点进行右旋操作即可
如果z是左孩子的话，直接就是第三种情形，直接右旋即可*/
void RB_Insert_Fixup(Tree* T,Node* z)
{
    Node* Y;
    while(z->parent->color==Red)
    {
        if(z->parent==z->parent->parent->left)
        {
            Y=z->parent->parent->right;
            if(Y->color==Red)
            {
                z->parent->color=Black;
                Y->color=Black;
                z->parent->parent->color=Red;
                z=z->parent->parent;
            }
            else
            {
                if(z==z->parent->right)
                {
                    z=z->parent;
                    Left_Rotate(T,z);
                }
                z->parent->color=Black;
                z->parent->parent->color=Red;
                Right_Rotate(T,z->parent->parent);
            }
        }
        else if(z->parent==z->parent->parent->right)
        {
            Y=z->parent->parent->left;
            if(Y->color==Red)
            {
                z->parent->color=Black;
                Y->color=Black;
                z->parent->parent->color=Red;
                z=z->parent->parent;
            }
            else
            {
                if(z==z->parent->left)
                {
                    z=z->parent;
                    Right_Rotate(T,z);
                }
                z->parent->color=Black;
                z->parent->parent->color=Red;
                Left_Rotate(T,z->parent->parent);
            }
        }
    }
    T->Root->color=Black;
}



/*红黑树的插入操作，除去最后两行外，其余的和普通的二叉树插入是一样的
最后做了两个工作，1.将插入的节点z的颜色设置成红色2.调用RB_Insert_Fixup函数进行修正*/
void RB_Insert(Tree* T,Node* z)
{
    Node* Y=&Nil;
    Node* X=T->Root;
    while(X!=&Nil)
    {
        Y=X;
        if(z->data<X->data)
        {
            X->Size++;
            X=X->left;
        }
        else
        {
            X->Size++;
            X=X->right;
        }
    }
    z->parent=Y;
    if(Y==&Nil)
    {
        z->color=Black;
        T->Root=z;
        return;
    }
    else if(z->data<Y->data)
        Y->left=z;
    else
        Y->right=z;
    z->left=&Nil;
    z->right=&Nil;
    z->color=Red;
    RB_Insert_Fixup(T,z);
}


/*传递的节点x有两种情况，在y被删除之前，如果y有个不是哨兵Nil的节点，那么x就是y的唯一的孩子
如果y没有孩子，那么x就是哨兵Nil。但无论x是什么值,x的父节点都是先前y的父节点*/
void RB_Delete_Fixup(Tree* T,Node* x)
{
    Node* w;
    while(x!=T->Root&&x->color==Black)
    {
        if(x==x->parent->left)
        {
            w=x->parent->right;/*进入情况1*/
            if(w->color==Red)
            {
                w->color=Black;
                x->parent->color=Red;/*交换颜色后进行左旋操作，新的w为x的新的兄弟节点*/
                Left_Rotate(T,x->parent);
                w=x->parent->right;
            }
            if(w->left->color==Black&&w->right->color==Black)/*情况2*/
            {
                w->color=Red;
                x=x->parent;
            }
            else
            {
                if(w->right->color==Black)/*右孩子是黑色的，进入情况3*/
                {
                    w->left->color=Black;
                    w->color=Red;
                    Right_Rotate(T,w);
                    w=x->parent->right;
                }
                else
                {
                    w->color=x->parent->color;/*进入情况4*/
                    x->parent->color=Black;
                    w->right->color=Black;
                    Left_Rotate(T,x->parent);
                    x=T->Root;
                }
            }
        }
        else/*剩下的部分是完全对称的*/
        {
            w=x->parent->left;
            if(w->color==Red)
            {
                w->color=Black;
                x->parent->color=Red;
                Right_Rotate(T,x->parent);
                w=x->parent->left;
            }
            if(w->right->color==Black&&w->left->color==Black)
            {
                w->color=Red;
                x=x->parent;
            }
            else
            {
                if(w->left->color==Black)
                {
                    w->right->color=Black;
                    w->color=Red;
                    Left_Rotate(T,w);
                    w=x->parent->left;
                }
                else
                {
                    w->color=x->parent->color;
                    x->parent->color=Black;
                    w->right->color=Black;
                    Right_Rotate(T,x->parent);
                    x=T->Root;
                }
            }
        }
    }
    x->color=Black;
}

/*删除红黑树节点的操作，一开始也是和普通二叉树的删除操作基本一样，但也有三点不同
首先，在二叉树中所有的NULL都换做了对Nil节点的引用
其次，不在需要判断x是否为空，直接将x的父节点连接在y上就行了，因为x就算是Nil也是有完整结构的
最后，判断如果删除的y是黑色的，那么调用修正方法*/
Node* RB_Delete(Tree* T,Node* z)
{
    Node* y;
    Node* x;
    if(z->left==&Nil||z->right==&Nil)
        y=z;
    else
        y=Tree_Successor(z);
    if(y->left!=&Nil)
        x=y->left;
    else
        x=y->right;
    x->parent=y->parent;
    if(y->parent==&Nil)
        T->Root=x;
    else if(y==y->parent->left)
        y->parent->left=x;
    else
        y->parent->right=x;
    if(y!=z)
    {
        z->data=y->data;
    }
    if(y->color==Black)
        RB_Delete_Fixup(T,x);
    return y;
}

/*顺序统计数中用来取出第i小的元素
其实就是x的顺序就保存在他的左孩子的节点上，所以每次和左孩子记录的值进行比较
匹配成功，则直接返回
比左孩子小了，那么在做孩子处递归调用算法
否则在右孩子处递归调用算法*/
Node* OS_Select(Node* x,int i)
{
    int r=x->left->Size+1;
    if(r==i)
        return x;
    else if(i<r)
        return OS_Select(x->left,i);
    else
        return OS_Select(x->right,i-r);
}

/*下面的算法给出一个指向节点x的指针，返回他的顺序大小r
其实也是不断的上移，节点x的左孩子的size+1表示他在以他为根节点的子树中的大小
如果x位于右子树，那么加上他的父节点的左子树再加一，直到到达根加点*/
int OS_Rank(Tree* T,Node* x)
{
    int r=x->left->Size+1;
    Node* y=x;
    while(y!=T->Root)
    {
        if(y==y->parent->right)
            r=r+y->parent->left->Size+1;
        y=y->parent;
    }
    return r;
}

int main()
{
    Tree T;
    T.Root=&Nil;
    Node N1;N1.data=12;N1.left=N1.right=N1.parent=&Nil;
    Node N2;N2.data=5;N2.left=N2.right=N2.parent=&Nil;
    Node N3;N3.data=2;N3.left=N3.right=N3.parent=&Nil;
    Node N4;N4.data=9;N4.left=N4.right=N4.parent=&Nil;
    Node N5;N5.data=18;N5.left=N5.right=N5.parent=&Nil;
    Node N6;N6.data=15;N6.left=N6.right=N6.parent=&Nil;
    Node N7;N7.data=19;N7.left=N7.right=N7.parent=&Nil;
    Node N8;N8.data=17;N8.left=N8.right=N8.parent=&Nil;
    N1.Size=N2.Size=N3.Size=N4.Size=N5.Size=N6.Size=N7.Size=N8.Size=1;
    //Tree_Insert(&T,&N1);Tree_Insert(&T,&N2);Tree_Insert(&T,&N3);Tree_Insert(&T,&N4);
    //Tree_Insert(&T,&N5);Tree_Insert(&T,&N6);Tree_Insert(&T,&N7);Tree_Insert(&T,&N8);
    RB_Insert(&T,&N1);
    printf("插入节点%d后，根节点为%d，根节点size为%d\n",N1.data,T.Root->data,T.Root->Size);
    RB_Insert(&T,&N2);
    printf("插入节点%d后，根节点为%d，根节点size为%d\n",N2.data,T.Root->data,T.Root->Size);
    RB_Insert(&T,&N3);
    printf("插入节点%d后，根节点为%d，根节点size为%d\n",N3.data,T.Root->data,T.Root->Size);
    RB_Insert(&T,&N4);
    printf("插入节点%d后，根节点为%d，根节点size为%d\n",N4.data,T.Root->data,T.Root->Size);
    RB_Insert(&T,&N5);
    printf("插入节点%d后，根节点为%d，根节点size为%d\n",N5.data,T.Root->data,T.Root->Size);
    RB_Insert(&T,&N6);
    printf("插入节点%d后，根节点为%d，根节点size为%d\n",N6.data,T.Root->data,T.Root->Size);
    RB_Insert(&T,&N7);
    printf("插入节点%d后，根节点为%d，根节点size为%d\n",N7.data,T.Root->data,T.Root->Size);
    RB_Insert(&T,&N8);
    printf("插入节点%d后，根节点为%d，根节点size为%d\n",N8.data,T.Root->data,T.Root->Size);
    Mid_Traverse(T.Root);
    printf("\n");
    Node* S=NULL;
    S=OS_Select(T.Root,6);
    printf("树中第6小的元素为%d\n",S->data);
    printf("树中%d元素处于%d的位置\n",S->data,OS_Rank(&T,S));
    //Tree_Delete(T.Root,S);
    //Mid_Traverse(T.Root);
    return 0;
}