最長迴文子串（Manacher算法）

問題：求最長迴文子串，例如abba，最長迴文子串爲4；abaaaaa，最長迴文子串爲5。

問題詳見：POJ3974

這裏介紹的是Manacher算法，其時間複雜度爲O(n)。

算法思想：

對於字符串“abba”的兩邊插入“#”，編程“#a#b#b#a#”。同時爲了更好地處理越界問題，我們可以在字符串的開始處加入另一個特殊的字符，如“$”，

則字符串變爲“$#a#b#b#a#”，則：

ｓ［ｉ］＝＂ #      ａ     ＃      ｂ      ＃      ｂ      ＃      ａ      ＃＂

ｐ［ｉ］＝＂１     ２      １      ２      ５       2       1        4      １＂

觀察，可得max（t [ i ] - 1 ）正是原字符串中最長迴文子串的總長度，如上面的最長迴文子串的長度爲4。

void manacher()
{
	//Manacher算法藉助了兩個輔助變量id和mx 
	// id表示最大回文子串中心的位置
	//mx爲id+p[id]，也就是最大回文子串的邊界 
	int id=0,mx=0;
	for(int i=1; t[i]!='\0' ;++i)	{
		//mx>i時，P[i]>= min(p[2*id-i],mx-i)
		p[i]= mx>i ? min(p[2*id-i],mx-i) : 1;
		//計算迴文子串的長度	
		while(t[i+p[i]]==t[i-p[i]])
			p[i]++;
		//當 i+p[i] > mx時，
		//更新最大回文子串中心的位置和邊界 
		if(i+p[i] > mx){
			mx=i+p[i];
			id=i;
		}
	}
}

完整代碼爲：

#include <iostream>

using namespace std;

const int maxn=1000010;
char s[maxn],t[2*maxn];
int p[2*maxn];

void manacher()
{
	//Manacher算法藉助了兩個輔助變量id和mx 
	// id表示最大回文子串中心的位置
	//mx爲id+p[id]，也就是最大回文子串的邊界 
	int id=0,mx=0;
	for(int i=1; t[i]!='\0' ;++i)	{
		//mx>i時，P[i]>= min(p[2*id-i],mx-i)
		p[i]= mx>i ? min(p[2*id-i],mx-i) : 1;
		//計算迴文子串的長度	
		while(t[i+p[i]]==t[i-p[i]])
			p[i]++;
		//當 i+p[i] > mx時，
		//更新最大回文子串中心的位置和邊界 
		if(i+p[i] > mx){
			mx=i+p[i];
			id=i;
		}
	}
}

int main()
{
	//添加這個的話，使得cin和cout的效率和scanf差不多 
	//不加的話，在遇到特別大的輸入時，會影響效率 
	ios::sync_with_stdio(false);
	int _case=1;
	while(cin>>s && s[0]!='E')	{
		int k=0;
		//第一位置爲"$" 
		t[k++]='$';
		//將輸入的字符串每隔一位插入#
		//如abbd生成的新字符串爲"#a#b#b#d#" 
		for(int i=0;s[i]!='\0';++i){
			t[k++] = '#';
			t[k++] = s[i];	
		}	
		t[k++]='#';
	  	//最後一位爲'\0' ，此時該字符串爲 "$#a#b#b#d#" 
		t[k]='\0';
		manacher();
		int len=0;
		//遍歷字符串，得出字符串的最長迴文子串的長度 
		for(int i=1;t[i]!='\0';++i){
			len=max(p[i],len);
		}
		cout << "Case" << _case++ << ":" << len - 1 << endl;
	}
	return 0;
}

綜上所述，Manacher算法使用了輔助變量id和mx，可以在每次循環中直接對p [ i ] 快速賦值，這樣使得計算迴文字串的過程中，不必每次都從1開始比較，

從而減少了比較次數，使得達到線性時間複雜度O(n).