BZOJ1087 [SCOI2005]互不侵犯King [递推][状态压缩]

BZOJ1087 [SCOI2005]互不侵犯King [递推][状态压缩]

Description

在N×N$N\times N$ 的棋盘里面放K$K$ 个国王，使他们互不攻击，共有多少种摆放方案。

国王能攻击到它上下左右，以及左上左下右上右下八个方向上附近的各一个格子，共8个格子。

Input

只有一行，包含两个数N，K （ 1 <=N <=9, 0 <= K <= N * N）

Output

方案数。

解法

由于N∈[0,9]$N\in [0,9]$ ，所以考虑搜索或位运算。但是搜索很费空间，而且这种题应该很费时间而且这是递推练习题，所以就是位运算+递推了。

首先，根据经验，应当有两维分别表示当前的行数和当前行的状态（01状态：当前行有哪些格子放了King(1)，哪些没有(0)）。但是还缺少一个信息：已经使用了多少个King。所以设定一个三维状态f(i,j,k)$f(i,j,k)$ 表示第i$i$ 行的状态为j$j$ （一个01状态），且前i$i$ 行已经用了的King的数量为k$k$ 。

令bitcnt(i)$bitcnt(i)$ 表示i$i$ 对应的二进制数中1的个数，如bitcnt(3)=2$bitcnt(3)=2$ 。可以得到一个方程：

f(i,j,k)=Σf(i−1,p,k−bitcnt(j))$$f(i,j,k)=\mathrm{\Sigma }f(i-1,p,k-bitcnt(j))$$

(bitcnt(p)≤bitcnt(j),p本身合法,p与j不矛盾)$$(bitcnt(p)\le bitcnt(j),p本身合法,p与j不矛盾)$$

代码里枚举这三维即可，时间复杂度O(N∗K∗2N)$O(N\ast K\ast 2^N)$ 。

Latex好看，不过真烦人(꒪Д꒪)

经验

1. 棋盘问题，或者方格问题：位运算，DP递推，搜索（通常是宽搜，或者深搜+最优化剪枝）……蒟蒻表示现在只能想到这点。
2. 慎重考虑01状态表示的是什么，比如这道题，到底是把能放King的个子标为1，还是把已经放了King的格子标为1。

代码

#include<cstdio>
#include<iostream>
#define N 550
#define ll long long
using namespace std;
ll bitcnt(ll x){
    ll Ans=0;
    while(x)Ans+=(x&1LL),x>>=1LL;
    return Ans;
}
bool OK(ll x){
    if(x&(x>>1LL) || x&(x<<1LL))return false;
    return true;
}
bool Mark[N];ll cnt[N],f[10][100][N];
int main(){
    ll n,k;scanf("%lld%lld",&n,&k);
    ll maxn=(1<<n)-1;
    for(ll i=0;i<=maxn;i++){
        Mark[i]=OK(i);
        if(!Mark[i])continue;
        cnt[i]=bitcnt(i);
        f[1][cnt[i]][i]=1LL;//Initialize
    }
    for(ll i=2;i<=n;i++)
        for(ll j=0;j<=k;j++)
            for(ll k=0;k<=maxn;k++){
                if(!Mark[k] || cnt[k]>j)continue;
                for(ll p=0;p<=maxn;p++){
                    if(!Mark[p])continue;
                    if(p&k || (p<<1LL)&k || (p>>1LL)&k)continue;
                    f[i][j][k]+=f[i-1][j-cnt[k]][p];
                }
            }
    ll Ans=0;
    for(ll i=0;i<=maxn;i++)Ans+=f[n][k][i];
    printf("%lld",Ans);return 0;
}