DP小結

DP小結

DP本質就是狀態壓縮——只記錄和答案有關的值。

所以DP的解法大概就是：

①不斷探索問題性質（數位DP體現得比較明顯，如BZOJ1026 windy數，還有一道缺了題號的題）

②減少那些和答案有關的值的個數（比如要從題目中篩選信息來定出狀態，列出方程）。

——scαpe

只是說說而已，DP並沒有什麼定式。

一些方法

這些方法說不定可以提供一些思路[滑稽]。

以下內容完全按照意識流順序出現。

刷表法與填表法

舉個例子來說，就是：

刷表法（也經常在狀態壓縮裏面遇見，也許可以避免初始化）：當簡單的狀態不方便表示的時候，可以考慮刷表法，比如f[i+k]+=f[i]$f[i+k]+=f[i]$ 之類的。如f[i][j]=(@!∗‘./)∗f[i−1][j−1]$f[i][j]=(@!\ast ‘./)\ast f[i-1][j-1]$ 之類的神仙轉移就可以用刷表法。比如一道缺了題號的題。

填表法：f[i]=f[i−1]...$f[i]=f[i-1]...$ 之類。

分解步驟

把一個大的東西分成很多個小塊討論。比如計算一堆鏈的權值和，一條鏈由很多線段構成，可以把每條線段對答案的貢獻單獨提出來算（BZOJ4033 樹上染色）；比如求一堆數字的二進制位的xor,or,and...$xor,or,and...$ 值，可以按位運算，即把這一堆數的某一位提出來單獨運算，最後把答案合起來……

單獨計算枚舉上限

防止時間複雜度退化。具體看題目咯，比如BZOJ4033 樹上染色。

樹形DP常用狀態

狀態中有一維表示以i$i$ 爲根的子樹。比如BZOJ4033 樹上染色中的狀態f[i][j]$f[i][j]$ 表示以i$i$ 爲根的子樹中有j$j$ 個黑點。

兩兩合併子問題（樹形DP）

一棵樹可以有很多兒子，這些兒子又有很多新兒子……（無限遞歸調用）設i$i$ 爲樹的根，它的n$n$ 個兒子分別爲s1,s2,s3,...,sn$s_1,s_2,s_3,...,s_n$ 。那麼按順序以如下方式計算：

s1+s2;s1,s2+s3;s1,s2,s3+s4;...;s1,s2,s3...sn−1+sn$$s_1+s_2;s_1,s_2+s_3;s_1,s_2,s_3+s_4;...;s_1,s_2,s_3...s_{n-1}+s_n$$

把+號左邊的部分看做一個整體，右邊看做另一個整體，依次合併。最後一次合併之後就得到了以i$i$ 爲根的樹的相關值。比如BZOJ4033 樹上染色。

前綴思想（數位DP）

求[a,b]​$[a,b]$ 中滿足某一特徵的數，可看爲[1,b]−[1,a−1]​$[1,b]-[1,a-1]$ 兩步。

例如：BZOJ1026 windy數 BZOJ1799 self 同類分佈

嵌套DP

一些DP題，一次DP不夠，還要在第一次DP的基礎上再來一波DP。

比如BZOJ2287 消失之物，退揹包問題。

放一篇樹形DP的總結

……

暫時就這些了吧？竟然嗶嗶了這麼多，汗