问题描述
Given a non negative integer number num. For every numbers i in the range 0 ≤ i ≤ num calculate the number of 1's in their binary representation and return them as an array.
Follow up:
- It is very easy to come up with a solution with run time O(n*sizeof(integer)). But can you do it in linear time O(n) /possibly in a single pass?
- Space complexity should be O(n).
- Can you do it like a boss? Do it without using any builtin function like __builtin_popcount in c++ or in any other language.
给定一个非负整数num，对于0≤i≤num范围内的每个数字i，计算其二进制表示中的1的个数，并将它们作为数组返回。
跟进:
- 用运行时O(n*sizeof(integer))提出一个解决方案是非常容易的。但你能在线性时间O(n)内完成吗?
- 空间复杂度应该是O(n)。
- 你能像老板那样做吗?在c++或其他任何语言中都不需要使用任何内建函数，如_builtin_popcount。
输入: 2
输出: [0,1,1]
输入: 5
输出: [0,1,1,2,1,2]
Python 实现
实现一：转化成二进制数后数 ‘1’ 的个数。不用说，这是一个很耗内存的实现方法，每次转换成二进制数时都需要使用新的内存。
class Solution(object):
def countBits(self, num):
"""
:type num: int
:rtype: List[int]
"""
bitCnt = [0]
for n in range(1,num+1):
bitCnt.append(format(n,'b').count('1'))
return bitCnt
实现二：寻找规律。二进制数与 2 的 n 次方有很密切的关系，那么我们可以观察一下当入参 num 为 2 的 n 次方时，所得的结果有什么规律：
[0]
[0, 1]
[0, 1, 1, 2]
[0, 1, 1, 2, 1, 2, 2, 3]
[0, 1, 1, 2, 1, 2, 2, 3, 1, 2, 2, 3, 2, 3, 3, 4]
...
没看出来？给个提示：看看每一个数组中，新增的后半部分元素与前半部分有什么关系。
没错，后半部分的每一个元素相当于前半部分每个元素加一后的结果。
但是这个方法存在一个缺点就是，当入参 num 较大时，一个极端情况 num = 2^n + 1，这样我们就需要计算到 2^(n+1)，但后面的 2^n - 1 个数都会被抛弃，因此存在着运算资源的浪费。
class Solution(object):
def countBits(self, num):
"""
:type num: int
:rtype: List[int]
"""
bitCnt = [0]
while len(bitCnt) < num+1:
bitCnt.extend([i+1 for i in bitCnt])
return bitCnt[:num+1]
实现三：动态规划。
分析相邻两个整数在二进制表示下的关系。如果 n 是奇数，那么其最低比特位为1，则 n>>1 （表示 n 右移一位）出现 1 的个数再加 1 就是 n 出现 1 的个数（奇数右移一位会丢失最低位的 1）；如果 n 是偶数，则右移一位后，出现 1 的个数不变。其中，我们所要知道的 n>>1 出现 1 的个数，必然在前面计算已经得到，所以这一题可以使用动态规划来解决。
class Solution(object):
def countBits(self, num):
"""
:type num: int
:rtype: List[int]
"""
bitCnt = [0]*(num+1)
for i in range(1, num+1):
bitCnt[i] = bitCnt[i>>1] + i%2
return bitCnt
