FFT

前置知識

兩種多項式表示法：

係數表示法：A(x)=∑n−1i=0aixi$A(x)=\sum _{i=0}^{n-1}{a}_i{x}^i$ ，其中 {an−1}$\{a_{n-1}\}$ 就是係數。

點值表示法：代入 n$n$ 個不同的 x$x$ 得到對應的 A(x)$A(x)$ 記爲 (x,y)$(x,y)$ ，這 n$n$ 個點 (x0,y0),(x1,y1)⋯(xn−1,yn−1)$(x_0,y_0),(x_1,y_1)\cdots (x_{n-1},y_{n-1})$ 唯一確定了 A(x)$A(x)$ 。

由係數表示法變爲點值表示法稱爲求值，點值表示法變爲係數表示法稱爲插值。

點值表示法好處：快速求 A(x)×B(x)$A(x)\times B(x)$ 的點值表達式——只需要將相同 x$x$ 的 y$y$ 乘起來。

單位複數根：

用 n$n$ 個模爲 1$1$ 的複數 n$n$ 等分複平面，令幅角最小的是 ωn${\omega }_n$ ( n$n$ 次單位複數根)，那麼其他 n−1$n-1$ 個就是 ω2n,ω3n⋯ωnn${\omega }_n^2,{\omega }_n^3\cdots {\omega }_n^n$ （兩個複數相乘，模長相乘，幅角相加），畫圖yy一下可以發現 ω0n=ωnn=1${\omega }_n^0={\omega }_n^n=1$ 。

因爲是 n$n$ 等分，所以 ωkn=(cos2kπn,sin2kπn)${\omega }_n^k=(cos\frac{2k\pi }{n},sin\frac{2k\pi }{n})$ ，由此可見 ω2k2n=ωkn,ωk+n2n=−ωkn${\omega }_{2n}^{2k}={\omega }_n^k,{\omega }_n^{k+\frac{n}{2}}=-{\omega }_n^k$ 。

快速傅里葉變換

因爲點值表示法可以快速進行多項式乘法，所以我們想將係數表示法轉換成點值表示法，再進行多項式相乘，最後將點值表示法轉換成係數表示法。兩個過程分別爲離散傅里葉變換和傅里葉逆變換。

ps：接下來都默認 n$n$ 是 2k$2^k$ （如果不夠那麼高位補 0$0$ 即可）。

離散傅里葉變換：

如果將 A(x)$A(x)$ 的係數奇偶拆分，我們可以得到：

A0(x)=a0+a2x+a4x2+⋯+an−2xn2−1A1(x)=a1+a3x+a5x2+⋯+an−1xn2−1A(x)=A0(x2)+xA1(x2)$$\begin{gathered} A_0(x)=a_0+a_{2}x+a_4{x}^2+\cdots +a_{n-2}{x}^{\frac{n}{2}-1} \\ {A}_1(x)=a_1+a_{3}x+a_5{x}^2+\cdots +a_{n-1}{x}^{\frac{n}{2}-1} \\ A(x)=A_0(x^2)+x{A}_1(x^2) \end{gathered}$$

因爲要代入 n$n$ 個不同的 x$x$ ，我們會聯想到 n$n$ 次單位複數根，又因爲如果 n$n$ 是偶數，則 (ωkn)2=ωkn2$({\omega }_n^k{)}^2={\omega }_{\frac{n}{2}}^k$ ，也就是說 (ωkn)2$({\omega }_n^k{)}^2$ 的取值只有 n2$\frac{n}{2}$ 種。於是我們驚奇的發現只要代入 n$n$ 個 n$n$ 次單位複數根， A0(x2)$A_0(x^2)$ 和 A1(x2)$A_1(x^2)$ 就變成了與 A(x)$A(x)$ 同樣的問題（這就是爲什麼 n$n$ 要是 2k$2^k$ ）！

所以可以用 O(nlog2n)$O(nlo{g}_{2}n)$ 的複雜度來愉快的離散傅里葉變換。

傅里葉逆變換：

只需要用 ω−kn${\omega }_n^{-k}$ 再做一次離散傅里葉變換，證明可以參考Menci大佬的博客QAQ，我太弱了就只記了結論：

ak=1n∑i=0n−1ai(ω−kn)i$$a_k=\frac{1}{n}\sum _{i=0}^{n-1}{a}_i({\omega }_n^{-k}{)}^i$$

實現

離散傅里葉變換的遞歸寫法很顯然，但是常數巨大啊。實際上有迭代寫法，我們觀察每個 i$i$ 遞歸到最後的位置：

0 1 2 3 4 5 6 7
0 2 4 6|1 3 5 7
0 4|2 6|1 5|3 7
0|4|2|6|1|5|3|7
二進制：
 0   1   2   3   4   5   6   7
000 001 010 011 100 101 110 111
000 100 010 110 001 101 011 111
 0   4   2   6   1   5   3   7

驚奇的發現竟然是二進制反轉QAQ，這樣我們就可以從底向上迭代處理了。

模板

UOJ34，爛大街的FFT模板題。

#include<cstdio>
#include<cctype>
#include<cmath>
#include<algorithm>
#define fr first
#define sc second
#define mp make_pair
using namespace std;
typedef long double DB;typedef pair<DB,DB> C;
const int maxn=262144;const DB pi=acos(-1);

int n,m,R[maxn+5];C a[maxn+5],b[maxn+5];

#define Eoln(x) ((x)==10||(x)==13||(x)==EOF)
inline char readc(){
    static char buf[100000],*l=buf,*r=buf;
    if (l==r) r=(l=buf)+fread(buf,1,100000,stdin);
    if (l==r) return EOF;return *l++;
}
inline int readi(int &x){
    int tot=0,f=1;char ch=readc(),lst='+';
    while (!isdigit(ch)) {if (ch==EOF) return EOF;lst=ch;ch=readc();}
    if (lst=='-') f=-f;
    while (isdigit(ch)) tot=(tot<<3)+(tot<<1)+ch-48,ch=readc();
    return x=tot*f,Eoln(ch);
}
inline int Rev(int x,int len){
    static int buf[31];for (int i=0;i<len;i++) buf[i]=x&1,x>>=1;
    for (int i=0;i<len;i++) x=x<<1|buf[i];return x;
}
C operator + (const C &a,const C &b) {return mp(a.fr+b.fr,a.sc+b.sc);}
C operator - (const C &a,const C &b) {return mp(a.fr-b.fr,a.sc-b.sc);}
C operator * (const C &a,const C &b) {return mp(a.fr*b.fr-a.sc*b.sc,a.fr*b.sc+a.sc*b.fr);}
inline void FFT(C *a,int n,int f){
    for (int i=0;i<n;i++) if (i<R[i]) swap(a[i],a[R[i]]);
    for (int k=1;k<n;k<<=1){
        C w=mp(1,0),wn=mp(cos(pi/k),sin(f*pi/k)),x,y;
        for (int i=0;i<n;i+=(k<<1),w=mp(1,0))
            for (int j=0;j<k;j++,w=w*wn)
                x=a[i+j],y=w*a[i+j+k],a[i+j]=x+y,a[i+j+k]=x-y;
    }
}
int main(){
    freopen("FFT.in","r",stdin);
    freopen("FFT.out","w",stdout);
    readi(n);readi(m);
    for (int i=0,x;i<=n;i++) readi(x),a[i]=mp(x,0);
    for (int i=0,x;i<=m;i++) readi(x),b[i]=mp(x,0);
    m+=n;int len=0;for (n=1;n<=m;n<<=1) len++;for (int i=0;i<n;i++) R[i]=Rev(i,len);
    FFT(a,n,1);FFT(b,n,1);for (int i=0;i<n;i++) a[i]=a[i]*b[i];
    FFT(a,n,-1);for (int i=0;i<=m;i++) printf("%d ",(int)(a[i].fr/n+0.1));
    return 0;
}