【杜教篩】BZOJ4916[神犇(JZ)和蒟蒻(ZZK)]題解

題目概述

給出 n ，求 A=∑ni=1μ(i2),B=∑ni=1φ(i2) 。

解題報告

第一問…… i2 ？喜聞樂見輸出 1 。

第二問，由於 φ(i2)=iφ(i) ，所以要求 ∑ni=1iφ(i) （積性函數前綴和），那麼我們就想到用杜教篩。xjb亂湊之後發現如果捲了 Id ，就可以得到：

S(n)=∑i=1ni2−∑i=2niS(⌊ni⌋)=n(n+1)(2n+1)6−∑i=2niS(⌊ni⌋)

然後就好了~

示例程序

#include<cstdio>
#include<map>
using namespace std;
typedef long long LL;
const int maxn=1000000,MOD=1e9+7,INV2=(MOD+1)/2,INV6=(MOD+1)/6;

int n,p[maxn+5],pre[maxn+5];
bool pri[maxn+5];map<int,int> f;

inline void AMOD(int &x,int tem) {if ((x+=tem)>=MOD) x-=MOD;}
inline void Make(){
    pri[0]=pri[1]=true;pre[1]=1;
    for (int i=2;i<=maxn;i++){
        if (!pri[i]) p[++p[0]]=i,pre[i]=(LL)(i-1)*i%MOD;
        for (int j=1,t;j<=p[0]&&(t=i*p[j])<=maxn;j++)
            if (i%p[j]) pre[t]=(LL)pre[i]*pre[p[j]]%MOD,pri[t]=true;
            else {pre[t]=(LL)pre[i]*p[j]%MOD*p[j]%MOD;pri[t]=true;break;}
    }
    for (int i=2;i<=maxn;i++) AMOD(pre[i],pre[i-1]);
}
int Solve(int n){
    if (n<=maxn) return pre[n];if (f.count(n)) return f[n];
    int ans=(LL)n*(n+1)%MOD*(n*2+1)%MOD*INV6%MOD;
    for (int l=2,r;l<=n;l=r+1){
        r=n/(n/l);int now=(LL)(l+r)*(r-l+1)%MOD*INV2%MOD;
        AMOD(ans,MOD-(LL)now*Solve(n/l)%MOD);
    }
    return f[n]=ans;
}
int main(){
    scanf("%d",&n);puts("1");Make();
    return printf("%d\n",Solve(n)),0;
}