[聯合集訓6-9] Psy 組合數學+杜教篩

顯然，符合條件的數必須滿足任何長度的後綴字典序必須嚴格大於全串。
假設一個串T$T$ 可以由幾個相同的串s$s$ 拼接而成，我們稱T$T$ 爲循環串。顯然所有循環串都是不滿足條件的。
那麼對於非循環串，那麼其所有循環表示（就是切下一個前綴拼在後面）都是互不相同的。給出一個結論：一個合法串和一個環的最小循環表示串一一對應。
先證明一個合法串一定是最小循環表示串。（以下Px$P_x$ 表示長度爲x$x$ 的前綴，Sx$S_x$ 表示長度爲x$x$ 的後綴）假設合法串不是最小循環表示串，那麼設從第i$i$ 位開始，即Sn−i+Pi(i≠0)$S_{n-i}+P_i(i\ne 0)$ 是最小循環表示串，那麼我們可以得到Sn−i<Pn−i$S_{n-i}<P_{n-i}$ （矛盾）或者Sn−i=Pn−i$S_{n-i}=P_{n-i}$ 並且Si<Pi$S_i<P_i$ （也矛盾），於是得證。
再證明一個最小循環表示串一定是合法的。假設其不合法，那麼必然存在一個Si<Pi$S_i<P_i$ （矛盾）或者Si=Pi$S_i=P_i$ 並且把Pn−i$P_{n-i}$ 拼到後面能得到Pn−i>Si$P_{n-i}>S_i$ （也矛盾），得證。
那麼我們設Fn$F_n$ 表示長度爲n$n$ 的合法串的個數，顯然有：

Fn=1n(10n−∑d|n,d<ndFd)$$F_n=\frac{1}{n}({10}^n-\sum _{d|n,d<n}d{F}_d)$$

其中∑d|ndFd$\sum _{d|n}d{F}_d$ 是減去循環串，1n$\frac{1}{n}$ 是因爲n$n$ 種循環表示中只有1$1$ 種合法。我們設Gi=Fi⋅n2$G_i=F_i\cdot n^2$ ，問題要求的就是∑ni=1Gi$\sum _{i=1}^n{G}_i$ ，那麼：

∑i=1nGi=∑i=1ni⋅10i−∑i=1n∑d|i,d<ii⋅Gdd$$\sum _{i=1}^n{G}_i=\sum _{i=1}^{n}i\cdot {10}^i-\sum _{i=1}^n\sum _{d|i,d<i}\frac{i\cdot G_d}{d}$$

前一個和式是一個等比數列乘等差數列，用錯位相減直接求，後一個和式換成枚舉k=id$k=\frac{i}{d}$ ，得到

∑i=1nGi=n⋅10n+1−10n+1−19+19−∑k=2n∑i=1⌊nk⌋Gk$$\sum _{i=1}^n{G}_i=\frac{n\cdot {10}^{n+1}-\frac{{10}^{n+1}-1}{9}+1}{9}-\sum _{k=2}^n\sum _{i=1}^{\lfloor \frac{n}{k}\rfloor }{G}_k$$

直接杜教篩即可。

代碼：

include<iostream>
#include<cstdio>
#include<cstring>
#define ll long long
using namespace std;
const int mod=1000000007;
const int R=100000;
const int T=3000000;
ll n,i9,i2;
int mg[R+5],g[T+5];
ll ksm(ll a,ll b)
{
    ll r=1;
    for(;b;b>>=1,a=a*a%mod)
        if(b&1) r=r*a%mod;
    return r;   
}
ll solve(ll x)
{
    ll m=n/x,pp,ans;
    if(m<T) return g[m];x=n/m;
    if(x<R&&mg[x]>=0) return mg[x];
    pp=ksm(10,m+1);
    ans=(pp*(m-i9+mod)+i9+1)%mod*i9%mod;
    for(ll l=2,r;l<=m;l=r+1)
    {
        r=m/(m/l);
        ll s=((l+r)%mod)*((r-l+1)%mod)%mod*i2%mod;
        ans=(ans-s*solve(x*l)%mod+mod)%mod;
    }  
    if(x<R) mg[x]=ans;
    return ans;
}

int main()
{
    scanf("%lld",&n);
    memset(mg,-1,sizeof(mg));
    i9=ksm(9,mod-2);
    i2=ksm(2,mod-2);
    g[1]=10;
    for(int i=2;i<=T;i++)
        g[i]=10ll*g[i-1]%mod;
    for(int i=1;i<=T;i++)
    {
        for(int j=(i<<1);j<=T;j+=i)
            g[j]=(g[j]+mod-g[i])%mod;
        g[i]=((ll)g[i]*i+g[i-1])%mod;
    }       
    printf("%lld",solve(1));
    return 0;
}