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先列出來展開式
A(n,m)=n×(n-1)×…×(n-m+1)=n!/(n-m)! ①
C(n,m)=A(n,m)/m!=n!/[(n-m)!×m!] ②
由於時間原因 在這一篇不會全證明完
<4>組合數性質證明Ⅰ
⑴對於0≤m≤n,有C(n,m)=C(n,n-m)
這是顯而易見的
首先我們舉個例子:現在一個隊伍裏面有n個隊員,要先選擇m個隊長,求:有多少個方案數; 這裏我們可以得出組合數方程方案數ans1=C(n,m)對吧。
我們現在反過來看這道題 他是讓我們選擇m個隊長 也就是說有(n-m)個隊員 我們可以可以看成選擇(n-m)個隊員？所以又可以得出來組合數方程ans2=C(n,n-m)
又因爲答案的唯一性，所以ans1=ans2=>C(n,m)=C(n,n-m)因爲不可能從n個隊員裏面選比n還多的隊長 所以得出結論⑴對於0≤m≤n,有C(n,m)=C(n,n-m)。
要是用算數方法證明也很簡單將C(n,m)，C(n,n-m)經過②展開也可以得出結論。在這就不解釋了
⑵C(n,m)=C(n-1,m)+C(n-1,m-1)
呃，筆者文筆有限這個性質編不出故事而且還是蒟蒻級別只能硬拆所以呢可能有點證明枯燥
這個性質很有用 可以用來遞推求出組合數但是！我還是蒟蒻級別只能硬拆
我們將左邊拆開就是
n!(n−m)!×m!
也就是n×(n−1)×(n−2)×.....×(n−m+1)m!
右邊的拆開就是
(n−1)!(n−m−1)!×m!
+
(n−1)!×m(n−m)!×(m−1)!×m
(×m我自己加上去的)
同樣上下約分就可以得出來
n!(n−m)!×m!
=左邊
得證
⑶C(n,0)+C(n+1,1)+C(n+2,2)+ …+C(n+r,r)=C(n+r+1,r)
這個性質其實證明也很簡單，我們將左邊反着看就是
C(n+r,r)+C(n+r-1,r-1)+C(n+r-2,r-2)+…+C(n+1,1)+C(n,0)
還記的上面的那個公式嗎？是不是感覺證明這性質不用那公式證明都對不起它了？
我們先將它擺出來C(n,m)=C(n-1,m)+C(n-1,m-1)②
爲了讓⑶右邊和左邊看起來很像，我們將②帶入
C(n+r+1,r)=C(n+r,r)+C(n+r,r-1)
是不是有一個一樣？！很簡單吧，整個式子就化成了我們要證明
C(n+r-1,r-1)+C(n+r-2,r-2)+…+C(n+1,1)+C(n,0)=C(n+r,r-1)
哈哈是不是又可以代入？（ C(n+r,r-1)=C(n+r-1,r-1）+C(n+r-1,r-2） )一直這樣代入消元，最終式子也就變成了0=0
所以說也就 Q.E.D（證畢）了
⑷C(n,l)*C(l,r)=C(n,r)*C(n-r,l-r)
這個是這篇文章的最後一個
所以說得好好證啦！
其實這個題目的證明是很容易的，只要用組合的定義（強拆），就可以直接得到證明。
那就開始暴力吧！
C(n,l)×C(l,r)={n!/[(n-l)!×l!]}×{l!/[(l-r)!r!]}={n!/[(n-r)!*r!]}×{(n-r)!/[(n-l)!(l-r)!]}=C(n,r)×C(n-r,l-r)
爲了更加理解，我這次來編個故事
在很南很南的南方，有一個叫wulala的dalao開了一座工廠，都是廢話趕緊入正題
這個式子所描述的意義就是，在母本忠有n個不同元素，要先在其中取出l個，再在l箇中取出r個樣本的取法的數量；但是wulala愛創新，所以它先從n個不同元素中先取出r個，再在剩下的n-r個元素中取出l-r個元素。其實這兩種取法的結果，都是得到三組，分別爲n-l個，l-r個和r個元素。二者的結果都是一樣的，所以，無論中間如何取，結果都是一樣的。依照乘法原理也就得出了結論
好的，這次的內容就到這裏了，學生黨時間不多，不能一次性全部打完，敬請諒解
