排列&組合數學

2017年10月6

　

排列&組合

<1>排列

定義:從n個不同的元素中,取出m個不同元素,按照順序排成一列,叫做從n個元素取出m個元素的一個排列。

我們將從n個不同的元素取出m個元素所得到得不同排列數,叫做從n個元素取出m個元素的排列數 記爲 A(n,m)(其中n≥m)

A(n,m)=n×(n-1)×…×(n-m+1)=n!/(n-m)!

　

　

　

　

<2>組合

定義:n個不同元素中取m個不同元素合成一組,叫做n個元素取出m個元素的一個組合。

我們將從n個不同的元素取出m個元素所得到得不同組合數,叫做從n個元素取出m個元素的組合數 記爲 C(n,m)(其中n≥m)

C(n,m)=A(n,m)/m!=n!/[(n-m)!×m!]

　

　

　

　

<3>組合數性質

　

⑴對於0≤r≤n,有C(n,r)=C(n,n-r)

⑵C(n,r)=C(n-1,r)+C(n-1,r-1)

⑶C(n,0)+C(n+1,1)+C(n+2,2)+ …+C(n+r,r)=C(n+r+1,r)

⑷C(n,l)*C(l,r)=C(n,r)*C(n-r,l-r)

⑸C(n,0)+C(n,1)+…+C(n,n-1)+C(n,n)=2n

⑹C(n,0)-C(n,1)+C(n,2)-…±C(n,n)=0

⑺C(m+n,r)=C(m,0)*C(n,r)+C(m,1)*C(n,r-1)+…+C(m,r)*C(n,0)

⑻C(m+n,m)=C(m,0)*C(n,0)+C(m,1)*C(n,1)+…+C(m,m)*C(n,m)

⑼k*C(n,k) = n*C(n-1,k-1)

⑽C(n,0)+C(n,2)+…=C(n,1)+C(n,3)+… = 2n-1

⑾1*C(n,1)+2*C(n,2)+…+n*C(n,n) = n*2n-1

⑿1*C(n,1)+4*C(n,2)+…+n2*C(n,n) = n*(n+1)*2n-2

⒀C(n,0)²+C(n,1)²+…+C(n,n)² = C(2×n,n)

⒁(1+x)²≡1+x ⁿ(mod n)

　

　

　

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組合數性質證明Ⅰ