[JZOJ5740]幻想世界 快速數論變換

首先發現α,β$\alpha ,\beta$ 的貢獻和ak,bk$a_k,b_k$ 的貢獻是可以分開計算的，把一個DP狀態看成是二維座標上的一個點，轉移就是每次從左邊(x−1,y)$(x-1,y)$ 或者從下面(x,y−1)$(x,y-1)$ 轉移。
先考慮計算α,β$\alpha ,\beta$ 的貢獻。
考慮枚舉兩個點(x1,y1),(x2,y2)(x1≤x2,y1≤y2)$(x_1,y_1),(x_2,y_2)(x_1\le x_2,y_1\le y_2)$ ，計算轉移到(x1,y1)$(x_1,y_1)$ 的那一步對(x2,y2)$(x_2,y_2)$ 的貢獻，從兩點之間的路徑條數入手可以得到：

(pα+qβ)∑x2=1n∑y2=1nhx2(n+1)+y2∑x1=1x2∑y1=1y2(x2−x1+y2−y1x2−x1)px2−x1qy2−y1$$(p\alpha +q\beta )\sum _{x_2=1}^n\sum _{y_2=1}^n{h}^{x_2(n+1)+y_2}\sum _{x_1=1}^{x_2}\sum _{y_1=1}^{y_2}(\genfrac{}{}{0ex}{}{x_2-x_1+y_2-y_1}{x_2-x_1})p^{x_2-x_1}{q}^{y_2-y_1}$$

這樣顯然無法計算，轉換成枚舉i=x2−x1,j=y2−y1$i=x_2-x_1,j=y_2-y_1$ ，

(pα+qβ)∑i=0n−1∑j=0n−1(i+ji)piqj∑x=i+1n∑y=j+1nhx(n+1)+y$$(p\alpha +q\beta )\sum _{i=0}^{n-1}\sum _{j=0}^{n-1}(\genfrac{}{}{0ex}{}{i+j}{i})p^i{q}^j\sum _{x=i+1}^n\sum _{y=j+1}^n{h}^{x(n+1)+y}$$

拆開組合數，

(pα+qβ)∑i=0n−1∑j=0n−1(i+j)!pii!qjj!∑x=i+1nhx(n+1)∑y=j+1nhy$$(p\alpha +q\beta )\sum _{i=0}^{n-1}\sum _{j=0}^{n-1}(i+j)!\frac{p^i}{i!}\frac{q^j}{j!}\sum _{x=i+1}^n{h}^{x(n+1)}\sum _{y=j+1}^n{h}^y$$

先把最後的h$h$ 用等比數列求和求出來，然後換成枚舉s=i+j$s=i+j$ ，然後就可以卷積了，

(pα+qβ)∑k=0n−2k!∑i+j=kpii!h(i+1)(n+1)(h(n+1)(n−i)−1)hn+1−1×qjj!hj+1(hn−j−1)h−1$$(p\alpha +q\beta )\sum _{k=0}^{n-2}k!\sum _{i+j=k}\frac{p^i}{i!}\frac{h^{(i+1)(n+1)}(h^{(n+1)(n-i)}-1)}{h^{n+1}-1}\times \frac{q^j}{j!}\frac{h^{j+1}(h^{n-j}-1)}{h-1}$$

再考慮計算ak$a_k$ 的貢獻，bk$b_k$ 同理。
對於每一個ak$a_k$ ，可以分別計算貢獻求和：

∑k=1nak∑x=kn∑y=1n(x−k+y−1x−k)px−kqyhx(n+1)+y$$\sum _{k=1}^n{a}_k\sum _{x=k}^n\sum _{y=1}^n(\genfrac{}{}{0ex}{}{x-k+y-1}{x-k})p^{x-k}{q}^y{h}^{x(n+1)+y}$$

組合數裏y−1$y-1$ 是因爲最後一步必須選擇縱座標−1$-1$ ，但這樣還是無法計算，因爲ak$a_k$ 有n$n$ 個，於是還是考慮枚舉差i=x−k$i=x-k$ ，

∑i=0n−1∑y=1n(i+y−1i)piqy∑x=i+1nax−ihx(n+1)+y$$\sum _{i=0}^{n-1}\sum _{y=1}^n(\genfrac{}{}{0ex}{}{i+y-1}{i})p^i{q}^y\sum _{x=i+1}^n{a}_{x-i}{h}^{x(n+1)+y}$$

∑i=0n−1∑y=1n(i+y−1)!pia′ii!qyhy(y−1)!$$\sum _{i=0}^{n-1}\sum _{y=1}^n(i+y-1)!\frac{p^i{a}_i^{\prime }}{i!}\frac{q^y{h}^y}{(y-1)!}$$

其中a′i=∑nx=i+1ax−ihx(n+1)$a_i^{\prime }=\sum _{x=i+1}^n{a}_{x-i}{h}^{x(n+1)}$ ，可以先卷積預處理出來。然後像之前一樣枚舉i+y$i+y$ 再捲起來就行了。

代碼：

#include<iostream>
#include<cstdio>
#include<cstring>
#define N 524290
#define ll long long
#define up(x,y) (x=(x+(y))%mod)
using namespace std;
const int mod=998244353;
const int g=3;
ll ksm(ll a,ll b){ll r=1;for(b=(b+mod-1)%(mod-1);b;b>>=1){if(b&1)r=r*a%mod;a=a*a%mod;}return r;}
ll inv(ll x){return ksm(x,mod-2);}
int n,m,r[N];
ll h,hn,A,B,P,Q,a[N],b[N],ans,fac[N],ifac[N],p[N],q[N],pow_P[N],pow_Q[N],pow_h[N],pow_hn[N],c[N];
void ntt(ll a[],int m,int dft)
{
    for(int i=0;i<m;i++)
        r[i]=(r[i>>1]>>1)|((i&1)*(m>>1));
    for(int i=0;i<m;i++)
        if(i<r[i]) swap(a[i],a[r[i]]);
    for(int i=1;i<m;i<<=1)
    {
        ll wn=ksm(g,(mod-1)/(i<<1)*dft);
        for(int j=0;j<m;j+=(i<<1))
        {
            ll wk=1;
            for(int k=j;k<j+i;k++)
            {
                ll x=a[k],y=wk*a[k+i]%mod;
                a[k]=(x+y)%mod;a[k+i]=(x-y+mod)%mod;
                wk=wk*wn%mod;
            }
        }
    }
    if(dft==-1) for(int i=0,t=inv(m);i<m;i++) a[i]=a[i]*t%mod;
}
void multi(ll a[],ll b[],ll c[])
{
    ntt(a,m,1);ntt(b,m,1);
    for(int i=0;i<m;i++)
        c[i]=a[i]*b[i]%mod;
    ntt(c,m,-1);    
}
int main()
{
    scanf("%d%lld%lld%lld",&n,&h,&A,&B);

    ll pa,pb,qa,qb;
    scanf("%lld%lld%lld%lld",&pa,&pb,&qa,&qb);
    P=pa*inv(pb)%mod;Q=qa*inv(qb)%mod;
    for(int i=1;i<=n;i++)
        scanf("%lld",&a[i]);
    for(int i=1;i<=n;i++)
        scanf("%lld",&b[i]);
    for(m=1;m<((n+1)<<1);m<<=1);
    hn=ksm(h,n+1);
    fac[0]=1;
    for(int i=1;i<=m;i++)
        fac[i]=fac[i-1]*i%mod;
    ifac[m]=inv(fac[m]);
    for(int i=m-1;i>=0;i--)
        ifac[i]=ifac[i+1]*(i+1)%mod;
    pow_P[0]=pow_Q[0]=pow_h[0]=pow_hn[0]=1;
    for(int i=1;i<=n;i++)
    {
        pow_P[i]=pow_P[i-1]*P%mod;
        pow_Q[i]=pow_Q[i-1]*Q%mod;
        pow_h[i]=pow_h[i-1]*h%mod;
        pow_hn[i]=pow_hn[i-1]*hn%mod;
    }
    for(int i=1;i<=n;i++)
        up(ans,pow_hn[i]*a[i]+pow_h[i]*b[i]);       
    //cal A B
    ll ih=inv(h-1),ihn=inv(hn-1);
    for(int i=0;i<n;i++)
    {
        p[i]=pow_P[i]*pow_hn[i+1]%mod*(pow_hn[n-i]-1)%mod*ifac[i]%mod*ihn%mod;
        q[i]=pow_Q[i]*pow_h[i+1]%mod*(pow_h[n-i]-1)%mod*ifac[i]%mod*ih%mod;
    }
    multi(p,q,c);
    for(int i=0;i<(n<<1);i++)
        up(ans,(P*A+Q*B)%mod*fac[i]%mod*c[i]);

    //cal a
    for(int i=0;i<=(n>>1);i++)
        swap(a[i],a[n-i]);
    memset(p,0,sizeof(p));
    for(int i=1;i<=n;i++)
        p[i]=pow_hn[i];
    multi(a,p,a);
    memset(p,0,sizeof(p));
    memset(q,0,sizeof(q));  
    for(int i=0;i<n;i++)    
        p[i]=pow_P[i]*ifac[i]%mod*a[i+n]%mod;
    for(int i=1;i<=n;i++)
        q[i]=pow_Q[i]*pow_h[i]%mod*ifac[i-1]%mod;
    multi(p,q,c);
    for(int i=1;i<(n<<1);i++)
        up(ans,fac[i-1]*c[i]%mod);  


    //cal b 
    for(int i=0;i<=(n>>1);i++)
        swap(b[i],b[n-i]);
    memset(p,0,sizeof(p));
    for(int i=1;i<=n;i++)
        p[i]=pow_h[i];
    multi(b,p,b);

    memset(p,0,sizeof(p));
    memset(q,0,sizeof(q));
    for(int i=1;i<=n;i++)   
        p[i]=pow_P[i]*pow_hn[i]%mod*ifac[i-1]%mod;
    for(int i=0;i<n;i++)
        q[i]=pow_Q[i]*ifac[i]%mod*b[i+n]%mod;

    multi(p,q,c);

    for(int i=1;i<(n<<1);i++)
        up(ans,fac[i-1]*c[i]%mod);


    printf("%lld",ans); 
    return 0;
}