迷之最長公共子序列（LCS）

最長公共子序列：

兩個序列按順序匹配相同的元素，所構成的新序列。(元素間可以不連續)
舉例：

 a----b----e----d----c----f----g
 丨                  丨   丨   丨
ca-------------------c----fh---ge

最長公共子序列爲 ：acfg

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解決最長公共子序列：

1. 暴力搜索：假設長度爲N的序列，其子序列個數（排列組合）：
   Cn(0)+Cn(1)+Cn(2)+Cn(3)+Cn(4)+……+Cn(n) = 2^n ；
   同理，另一長度爲M的序列，其子序列個數爲 2^m ；
   複雜度爲O（2^(N+M)）；
   基本GG。
2. 動態規劃：把求解問題分成若干個子問題。
   求前N-1元素與前M-1的最長公共字串；
   求前N-2元素與前M-2的最長公共字串；
   ……

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如何使用動態規劃解決最長公共子序列：

我們把兩個序列從尾部一個一個拆分比較，會發現兩種情況：
（設序列X,Y，X(a)爲序列第a個元素）

1. 末尾元素相同，即X(N)=Y(M)。
   我們可以知道此時最長公共子序列的末尾元素一定也爲X(N)(或Y（M）)。
   可繼續把序列拆分成 比較X(N-1) 與 Y(M-1)。
2. 末尾元素不同，即X(N)≠Y(M)。
   此情況下又分兩種情況：
   ——①最長子序列的末尾元素可能是X(N),非Y(M)。踢出Y(M), 比較X(N) 與 Y(M-1)
   ——②最長子序列的末尾元素可能是Y(M),非X(N)。踢出X(N), 比較X(N-1) 與 Y(M)

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動態規劃的遞推結構：

放個模板：

void lcs(){
    la=strlen(a);
    lb=strlen(b);
    for(int i=1;i<=la;i++){
        for(int j=1;j<=lb;j++){
            if(a[i-1]==b[j-1]){
                dp[i][j]=dp[i-1][j-1]+1;
            }
            else {
                dp[i][j]=max(dp[i-1][j],dp[i][j-1]);
            }
        }
    }
}