矩陣快速冪

矩陣冪可以用來解決斐波那契問題，圖的路徑條數問題。

在計算矩陣冪的過程中，如果用樸素的列與行枚舉求和：

例如——

複雜度是O(N)。

所以引進了矩陣快速冪來計算。

首先來看快速冪——

快速冪就是把指數再化成  底數加指數  的形式，例如：

如何拆分呢？

快速冪模板：

ll quick(ll a,ll b ,ll c){
    ll ans=1;
    while(b){
        if(b&1){
            ans=(ans*a)%c;
        }
        b>>=1;
        a=(a*a)%c;
    }
    return ans;
}

因爲是指數再求指數所以時間複雜度爲 O(log₂N)。

把它應用到矩陣運算中也是一樣，把矩陣看成一個數。

放兩個模板：

int n,m,T;

struct Node{
    int contain[MAXX][MAXX];
    Node(){
        for(int i=0;i<MAXX;i++){
            for(int j=0;j<MAXX;j++){
                contain[i][j]=0;
            }
        }
    }
};

矩陣乘法：

Node multi(int a[][MAXX],int b[][MAXX]){ //兩矩陣乘
    Node ans;
    for(int i=0;i<n;i++){
        for(int j=0;j<n;j++){
            for(int k=0;k<n;k++){
                ans.contain[i][j]+=a[i][k]*b[k][j];
            }
            //ans.contain[i][j]%=10000;
        }
    }
    return ans;
}

矩陣的快速冪：

Node Pow(Node ex,int k){//矩陣K次冪
    Node res;
    for(int i=0;i<n;i++){  //單位矩陣
        res.contain[i][i]=1;
    }
    while(k){
        if(k&1){
            res=multi(res.contain,ex.contain);
        }
        ex=multi(ex.contain,ex.contain);
        k>>=1;
    }
    return res;
}

用來解決斐波那契問題 即 把遞推式轉化成矩陣乘法的形式：

當然，沒有公式的時候還是先要靠數學推出來的orz。

哦還有，多次冪得到的數很大超範圍，一般都要取模。

一開始我很糾結取模的問題，爲啥老模10000007。

它就是怕你範圍太大，用個大素數把結果分散一點，有點哈希的意思。

不會影響結果的，總之，它要你怎麼模就怎麼模嘍= =。