說到以Tarjan命名的算法，我們經常提到的有3個，其中就包括本文所介紹的求強連通分量的Tarjan算法。而提出此算法的普林斯頓大學的Robert E Tarjan教授也是1986年的圖靈獎獲得者（具體原因請看本博“歷屆圖靈獎得主”一文）。
首先明確幾個概念。
強連通圖:
在一個強連通圖中，任意兩個點都通過一定路徑互相連通。比如圖一是一個強連通圖，而圖二不是。因爲沒有一條路使得點4到達點1、2或3。
強連通分量：
在一個非強連通圖中極大的強連通子圖就是該圖的強連通分量。比如圖三中子圖{1,2,3,5}是一個強連通分量，子圖{4}是一個強連通分量。
關於Tarjan算法的僞代碼和流程演示請到我的115網盤下載網上某大牛寫的Doc（地址：http://u.115.com/file/f96af404d2<Tarjan算法.doc>）本文着重從另外一個角度，也就是針對tarjan的操作規則來講解這個算法。
其實，tarjan算法的基礎是DFS。我們準備兩個數組Low和Dfn。Low數組是一個標記數組，記錄該點所在的強連通子圖所在搜索子樹的根節點的Dfn值（很繞嘴，往下看你就會明白），Dfn數組記錄搜索到該點的時間，也就是第幾個搜索這個點的。根據以下幾條規則，經過搜索遍歷該圖（無需回溯）和對棧的操作，我們就可以得到該有向圖的強連通分量。
- 數組的初始化：當首次搜索到點p時，Dfn與Low數組的值都爲到該點的時間。
- 堆棧：每搜索到一個點，將它壓入棧頂。
- 當點p有與點p’相連時，如果此時（時間爲dfn[p]時）p’不在棧中，p的low值爲兩點的low值中較小的一個。
- 當點p有與點p’相連時，如果此時（時間爲dfn[p]時）p’在棧中，p的low值爲p的low值和p’的dfn值中較小的一個。
- 每當搜索到一個點經過以上操作後（也就是子樹已經全部遍歷）的low值等於dfn值，則將它以及在它之上的元素彈出棧。這些出棧的元素組成一個強連通分量。
- 繼續搜索（或許會更換搜索的起點，因爲整個有向圖可能分爲兩個不連通的部分），直到所有點被遍歷。
由於每個頂點只訪問過一次，每條邊也只訪問過一次，我們就可以在O（n+m）的時間內求出有向圖的強連通分量。但是，這麼做的原因是什麼呢？
Tarjan算法的操作原理如下：
- Tarjan算法基於定理：在任何深度優先搜索中，同一強連通分量內的所有頂點均在同一棵深度優先搜索樹中。也就是說，強連通分量一定是有向圖的某個深搜樹子樹。
- 可以證明，當一個點既是強連通子圖Ⅰ中的點，又是強連通子圖Ⅱ中的點，則它是強連通子圖Ⅰ∪Ⅱ中的點。
- 這樣，我們用low值記錄該點所在強連通子圖對應的搜索子樹的根節點的Dfn值。注意，該子樹中的元素在棧中一定是相鄰的，且根節點在棧中一定位於所有子樹元素的最下方。
- 強連通分量是由若干個環組成的。所以，當有環形成時（也就是搜索的下一個點已在棧中），我們將這一條路徑的low值統一，即這條路徑上的點屬於同一個強連通分量。
- 如果遍歷完整個搜索樹後某個點的dfn值等於low值，則它是該搜索子樹的根。這時，它以上（包括它自己）一直到棧頂的所有元素組成一個強連通分量。
文章來源:http://www.cnblogs.com/saltless
