算法#01--素數和牛頓迭代法求平方根

素數

1.概念

質數（prime number）又稱素數，有無限個。除了1和它本身以外不再有其他的除數整除。根據算術基本定理，每一個比1大的整數，要麼本身是一個質數，要麼可以寫成一系列質數的乘積，最小的質數是2。

2.論點

在一般領域，對正整數n，如果用2到根號n之間的所有整數去除，均無法整除，則n爲質數。

3.證明

如果n不能被2到根號n之間的任一整數整除，且不是質數，那麼n可以表示爲：n=ab，其中ab是非1正整數。
因爲n不能被2到根號n之間的任一整數整除，所以a＞根號n，b＞根號n，ab＞根號n×根號n=n。
這跟ab=n是矛盾的,所以原來的命題得證.

4.代碼實現

public static boolean isPrime(int N)
{
    if(N<2) return false;
    for(int i =2; i*i<N; i++)
        if(N%i==0) return false;
    return true;
}

牛頓迭代法求平方根

1.概念

牛頓迭代法（Newton’s method）又稱爲牛頓-拉夫遜方法（Newton-Raphson method），它是牛頓在17世紀提出的一種在實數域和複數域上近似求解方程的方法。

多數方程不存在求根公式，因此求精確根非常困難，甚至不可能，從而尋找方程的近似根就顯得特別重要。

方法使用函數f(x)的泰勒級數的前面幾項來尋找方程f(x) = 0的根。牛頓迭代法是求方程根的重要方法之一，其最大優點是在方程f(x) = 0的單根附近具有平方收斂，而且該法還可以用來求方程的重根、復根。

2.公式

3.證明

例如，我想求根號2等於多少。假如我猜測的結果爲4，雖然錯的離譜，但你可以看到使用牛頓迭代法後這個值很快就趨近於根號2了：

( 4 + 2/ 4 ) / 2 = 2.25
( 2.25 + 2/ 2.25 ) / 2 = 1.56944..
( 1.56944..+ 2/1.56944..) / 2 = 1.42189..
( 1.42189..+ 2/1.42189..) / 2 = 1.41423..

證明過程如下：

①設曲線爲f(x)=x²-a。

②求出一階導數函數爲f’(x)=2x。也就是說，函數上任一點(x,f(x))處的切線斜率是2x。

③根號a實際上就是x^2-a=0的一個正實根。

④不斷用(x,f(x))的切線來逼近這個根。設初始值爲x。

⑤求出一階導數函數與x軸的交點x-f(x)/(2x)，此爲下一個值x，就是一個比x更接近的近似值。

那麼，代入f(x)=x^2-a得到x-(x^2-a)/(2x)，也就是(x+a/x)/2。

4.代碼實現

public static double sqrt(double c)
{
    if(c<0) return Double.NaN;
    double err = 1e-15;//精度
    double t = c;//賦初值
    while(Math.abs(t*t - c)>err*t)//控制迭代精度
        t = (c/t+t)/2.0;//迭代公式
    return t;
}

最後貼一張動態演示圖：