1. 問題
之前我們討論的PCA、ICA也好,對樣本數據來言,可以是沒有類別標籤y的。回想我們做迴歸時,如果特徵太多,那麼會產生不相關特徵引入、過度擬合等問題。我們可以使用PCA來降維,但PCA沒有將類別標籤考慮進去,屬於無監督的。
比如回到上次提出的文檔中含有“learn”和“study”的問題,使用PCA後,也許可以將這兩個特徵合併爲一個,降了維度。但假設我們的類別標籤y是判斷這篇文章的topic是不是有關學習方面的。那麼這兩個特徵對y幾乎沒什麼影響,完全可以去除。
再舉一個例子,假設我們對一張100*100像素的圖片做人臉識別,每個像素是一個特徵,那麼會有10000個特徵,而對應的類別標籤y僅僅是0/1值,1代表是人臉。這麼多特徵不僅訓練複雜,而且不必要特徵對結果會帶來不可預知的影響,但我們想得到降維後的一些最佳特徵(與y關係最密切的),怎麼辦呢?
2. 線性判別分析(二類情況)
回顧我們之前的logistic迴歸方法,給定m個n維特徵的訓練樣例(i從1到m),每個對應一個類標籤。我們就是要學習出參數,使得(g是sigmoid函數)。
現在只考慮二值分類情況,也就是y=1或者y=0。
爲了方便表示,我們先換符號重新定義問題,給定特徵爲d維的N個樣例,,其中有個樣例屬於類別,另外個樣例屬於類別。
現在我們覺得原始特徵數太多,想將d維特徵降到只有一維,而又要保證類別能夠“清晰”地反映在低維數據上,也就是這一維就能決定每個樣例的類別。
我們將這個最佳的向量稱爲w(d維),那麼樣例x(d維)到w上的投影可以用下式來計算
這裏得到的y值不是0/1值,而是x投影到直線上的點到原點的距離。
當x是二維的,我們就是要找一條直線(方向爲w)來做投影,然後尋找最能使樣本點分離的直線。如下圖:
從直觀上來看,右圖比較好,可以很好地將不同類別的樣本點分離。
接下來我們從定量的角度來找到這個最佳的w。
首先我們尋找每類樣例的均值(中心點),這裏i只有兩個
由於x到w投影后的樣本點均值爲
由此可知,投影后的的均值也就是樣本中心點的投影。
什麼是最佳的直線(w)呢?我們首先發現,能夠使投影后的兩類樣本中心點儘量分離的直線是好的直線,定量表示就是:
J(w)越大越好。
但是隻考慮J(w)行不行呢?不行,看下圖
樣本點均勻分佈在橢圓裏,投影到橫軸x1上時能夠獲得更大的中心點間距J(w),但是由於有重疊,x1不能分離樣本點。投影到縱軸x2上,雖然J(w)較小,但是能夠分離樣本點。因此我們還需要考慮樣本點之間的方差,方差越大,樣本點越難以分離。
我們使用另外一個度量值,稱作散列值(scatter),對投影后的類求散列值,如下
從公式中可以看出,只是少除以樣本數量的方差值,散列值的幾何意義是樣本點的密集程度,值越大,越分散,反之,越集中。
而我們想要的投影后的樣本點的樣子是:不同類別的樣本點越分開越好,同類的越聚集越好,也就是均值差越大越好,散列值越小越好。正好,我們可以使用J(w)和S來度量,最終的度量公式是
接下來的事就比較明顯了,我們只需尋找使J(w)最大的w即可。
先把散列值公式展開
我們定義上式中中間那部分
這個公式的樣子不就是少除以樣例數的協方差矩陣麼,稱爲散列矩陣(scatter matrices)
我們繼續定義
稱爲Within-class scatter matrix。
然後,我們展開分子
稱爲Between-class scatter,是兩個向量的外積,雖然是個矩陣,但秩爲1。
那麼J(w)最終可以表示爲
在我們求導之前,需要對分母進行歸一化,因爲不做歸一的話,w擴大任何倍,都成立,我們就無法確定w。因此我們打算令,那麼加入拉格朗日乘子後,求導
這個公式稱爲Fisher linear discrimination。
那麼
代入最後的特徵值公式得
由於對w擴大縮小任何倍不影響結果,因此可以約去兩邊的未知常數和,得到
至此,我們只需要求出原始樣本的均值和方差就可以求出最佳的方向w,這就是Fisher於1936年提出的線性判別分析。
看上面二維樣本的投影結果圖:
3. 線性判別分析(多類情況)
前面是針對只有兩個類的情況,假設類別變成多個了,那麼要怎麼改變,才能保證投影后類別能夠分離呢?
我們之前討論的是如何將d維降到一維,現在類別多了,一維可能已經不能滿足要求。假設我們有C個類別,需要K維向量(或者叫做基向量)來做投影。
爲了像上節一樣度量J(w),我們打算仍然從類間散列度和類內散列度來考慮。
當樣本是二維時,我們從幾何意義上考慮:
其中和與上節的意義一樣,是類別1裏的樣本點相對於該類中心點的散列程度。變成類別1中心點相對於樣本中心點的協方差矩陣,即類1相對於的散列程度。
需要變,原來度量的是兩個均值點的散列情況,現在度量的是每類均值點相對於樣本中心的散列情況。類似於將看作樣本點,是均值的協方差矩陣,如果某類裏面的樣本點較多,那麼其權重稍大,權重用Ni/N表示,但由於J(w)對倍數不敏感,因此使用Ni。
其中
上面討論的都是在投影前的公式變化,但真正的J(w)的分子分母都是在投影后計算的。下面我們看樣本點投影后的公式改變:
這兩個是第i類樣本點在某基向量上投影后的均值計算公式。
W是基向量矩陣,是投影后的各個類內部的散列矩陣之和,是投影后各個類中心相對於全樣本中心投影的散列矩陣之和。
回想我們上節的公式J(w),分子是兩類中心距,分母是每個類自己的散列度。現在投影方向是多維了(好幾條直線),分子需要做一些改變,我們不是求兩兩樣本中心距之和(這個對描述類別間的分散程度沒有用),而是求每類中心相對於全樣本中心的散列度之和。
然而,最後的J(w)的形式是
由於我們得到的分子分母都是散列矩陣,要將矩陣變成實數,需要取行列式。又因爲行列式的值實際上是矩陣特徵值的積,一個特徵值可以表示在該特徵向量上的發散程度。因此我們使用行列式來計算(此處我感覺有點牽強,道理不是那麼有說服力)。
整個問題又迴歸爲求J(w)的最大值了,我們固定分母爲1,然後求導,得出最後結果(我翻查了很多講義和文章,沒有找到求導的過程)
與上節得出的結論一樣
最後還歸結到了求矩陣的特徵值上來了。首先求出的特徵值,然後取前K個特徵向量組成W矩陣即可。
注意:由於中的 秩爲1,因此的秩至多爲C(矩陣的秩小於等於各個相加矩陣的秩的和)。由於知道了前C-1個後,最後一個可以有前面的來線性表示,因此的秩至多爲C-1。那麼K最大爲C-1,即特徵向量最多有C-1個。特徵值大的對應的特徵向量分割性能最好。
由於不一定是對稱陣,因此得到的K個特徵向量不一定正交,這也是與PCA不同的地方。
4. 實例
將3維空間上的球體樣本點投影到二維上,W1相比W2能夠獲得更好的分離效果。
PCA與LDA的降維對比:
PCA選擇樣本點投影具有最大方差的方向,LDA選擇分類性能最好的方向。
LDA既然叫做線性判別分析,應該具有一定的預測功能,比如新來一個樣例x,如何確定其類別?
拿二值分來來說,我們可以將其投影到直線上,得到y,然後看看y是否在超過某個閾值y0,超過是某一類,否則是另一類。而怎麼尋找這個y0呢?
看
根據中心極限定理,獨立同分布的隨機變量和符合高斯分佈,然後利用極大似然估計求
然後用決策理論裏的公式來尋找最佳的y0,詳情請參閱PRML。
這是一種可行但比較繁瑣的選取方法,可以看第7節(一些問題)來得到簡單的答案。
5. 使用LDA的一些限制
1、 LDA至多可生成C-1維子空間
LDA降維後的維度區間在[1,C-1],與原始特徵數n無關,對於二值分類,最多投影到1維。
2、 LDA不適合對非高斯分佈樣本進行降維。
上圖中紅色區域表示一類樣本,藍色區域表示另一類,由於是2類,所以最多投影到1維上。不管在直線上怎麼投影,都難使紅色點和藍色點內部凝聚,類間分離。
3、 LDA在樣本分類信息依賴方差而不是均值時,效果不好。
上圖中,樣本點依靠方差信息進行分類,而不是均值信息。LDA不能夠進行有效分類,因爲LDA過度依靠均值信息。
4、 LDA可能過度擬合數據。
6. LDA的一些變種
1、 非參數LDA
非參數LDA使用本地信息和K臨近樣本點來計算,使得是全秩的,這樣我們可以抽取多餘C-1個特徵向量。而且投影后分離效果更好。
2、 正交LDA
先找到最佳的特徵向量,然後找與這個特徵向量正交且最大化fisher條件的向量。這種方法也能擺脫C-1的限制。
3、 一般化LDA
引入了貝葉斯風險等理論
4、 核函數LDA
7. 一些問題
上面在多值分類中使用的
是帶權重的各類樣本中心到全樣本中心的散列矩陣。如果C=2(也就是二值分類時)套用這個公式,不能夠得出在二值分類中使用的。
對於二值分類問題,令人驚奇的是最小二乘法和Fisher線性判別分析是一致的。
下面我們證明這個結論,並且給出第4節提出的y0值得選取問題。
回顧之前的線性迴歸,給定N個d維特徵的訓練樣例(i從1到N),每個對應一個類標籤。我們之前令y=0表示一類,y=1表示另一類,現在我們爲了證明最小二乘法和LDA的關係,我們需要做一些改變
就是將0/1做了值替換。
我們列出最小二乘法公式
從第一個式子展開可以得到
消元后,得
可以證明第二個式子展開後和下面的公式等價
因此,最後結果仍然是
這個過程從幾何意義上去理解也就是變形後的線性迴歸(將類標籤重新定義),線性迴歸後的直線方向就是二值分類中LDA求得的直線方向w。
好了,我們從改變後的y的定義可以看出y>0屬於類,y<0屬於類。因此我們可以選取y0=0,即如果,就是類,否則是類。
寫了好多,挺雜的,還有個topic模型也叫做LDA,不過名字叫做Latent Dirichlet Allocation,第二作者就是Andrew Ng大牛,最後一個他導師Jordan泰斗了,什麼時候拜讀後再寫篇總結發上來吧。