數學模板 - 組合數學

排列組合

生成1~n的排列：

void solve(int n, int *a, int num)///solve(n,mem,0),輸入n,按字典序從小到大的順序輸出前n個數的所有排列
{
    if(num == n)///遞歸邊界
    {
        for(int i = 0; i < n - 1; i++)
            printf("%d ",a[i]);
        printf("%d\n",a[n-1]);
    }
    else
    {
        for(int i = 1; i <= n; i++)///在a[num]中遍歷一遍所有數
        {
            int ok = 0;
            for(int j = 0; j < num; j++)
            {
                if(a[j] == i)///判斷a[0]~a[num-1]是否出現過該數字,出現標記爲1
                    ok = 1;
            }
            if(!ok)
            {
                a[num] = i;
                solve(n,a,num+1);
            }
        }
    }
    return;
}

生成可重集的排列：

#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;

const int Max = 100000 + 10;
int mem[Max], q[Max];

void solve(int n, int *p, int *a, int num)///輸入數組q,並按字典序從小到大的順序輸出數組a各元素的所有全排列
{
    if(num == n)///遞歸邊界
    {
        for(int i = 0; i < n - 1; i++)
            printf("%d ",a[i]);
        printf("%d\n",a[n-1]);
    }
    else
    {
        for(int i = 0; i < n; i++)///在a[num]中遍歷一遍p數組中所有的數
        {
            int bj1 = 0, bj2 = 0;
            if(!i || p[i] != p[i-1])///避免重複
            {
                for(int j = 0; j < num; j++)    if(a[j] == p[i])    bj1++;;
                for(int j = 0; j < n; j++)    if(p[i] == p[j])    bj2++;
                if(bj1 < bj2)///避免遺漏
                {
                    a[num] = p[i];
                    solve(n,p,a,num+1);
                }
            }
        }
    }
    return;
}

int main()
{
    int n;
    while (~scanf("%d",&n))
    {
        for(int i = 0; i < n; i++)
            scanf("%d",&q[i]);
        sort(q,q+n);
        solve(n,q,mem,0);
    }
    return 0;
}

next_permutation排列函數

#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;

const int Max = 100000 + 10;
int n, mem[Max];

void solve_int()///int 類型的 next_permutation 使用
{
    for(int i = 0; i < n; i++)
        scanf("%d",&mem[i]);
    sort(mem,mem+n);
    do
    {
        for(int i = 0; i < n - 1; i++)
            printf("%d ",mem[i]);
        printf("%d\n",mem[n-1]);
    }while(next_permutation(mem,mem+n));
}

void solve_char()///char 類型的 next_permutation 使用
{
    int len;
    char ch[Max];
    scanf("%s",ch);
    len = strlen(ch);
    sort(ch,ch+len);
    do
    {
        printf("%s\n",ch);
    }while(next_permutation(ch,ch+len));
}

void solve_string()///string 類型的 next_permutation 使用
{
    string str;
    while(cin >> str && str != "*")
    {
        sort(str.begin(),str.end());
        do
        {
            cout << str << endl;
        }
        while(next_permutation(str.begin(),str.end()));
    }
}

bool cmp(char a, char b)///自定義排序順序,'A' < 'a' < 'B' < 'b' ... < 'Z' < 'z'
{
    if(tolower(a) == tolower(b))
        return a < b;
    else
        return tolower(a) < tolower(b);
}
void solve_mem()///自定義排序方法後 next_permutation 的使用
{

    int len;
    char ch[Max];
    scanf("%s",ch);
    len = strlen(ch);
    sort(ch,ch+len,cmp);
    do
    {
        printf("%s\n",ch);
    }while(next_permutation(ch,ch+len,cmp));
}

int main ()
{
    scanf("%d", &n);
    solve_int();
    solve_char();
    solve_string();
    solve_mem();
    return 0;
}

容斥原理

#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;
int prime[40000], m;
bool f[40000];
vector<int>p;///存放質因數

int init()///用篩法40000以內的質數
{
    m = 0;
    for(int i = 2; i < 40000; i++)
    {
        if (f[i] == 0)
            prime[m++] = i;//質數

        for(int j = 0; j < m && i * prime[j] < 40000; j++)
        {
            f[i*prime[j]] = 1;
            if(i%prime[j] == 0)
                break;
        }
    }
}

void factor(int n)///對n分解質因數
{
    p.clear();
    for(int i = 0; i < m && prime[i] * prime[i] <= n; i++)
    {
        if(n % prime[i] == 0)
        {
            p.push_back(prime[i]);
            n /= prime[i];
            while(n % prime[i] == 0)
                n /= prime[i];
        }
    }
    if(n > 1)
        p.push_back(n);
}

int solve(int r)///用二進制實現容斥原理,求區間[1,r]內與n互素的數的個數
{
    int sum = 0;
    for (int i = 1; i < ( 1 << p.size()); ++i)
    {
        int mult = 1, bits = 0;
        for (int j = 0; j < p.size(); ++j)
            if(i & (1 << j))
            {
                bits++;///計算i中1的個數,也就是質因數的個數
                mult *= p[j];
            }
        int cur = r / mult;
        if(bits & 1)///若1的個數是奇數則進行加法，否則進行減法
            sum += cur;
        else sum -= cur;
    }
    return r - sum;
}

int main()
{
    init();
    int n, r;
    while(cin >> n >> r)
    {
        factor(n);
        cout<<solve(r)<<endl;
    }
    return 0;
}

Polya計數

int gcd(int a, int b)
{
    return b == 0 ? a : gcd(b,a % b);
}

ll pow(ll a, ll b)
{
    ll flag = 1;
    while(b--)
    {
        flag *= a;
    }
    return flag;
}

ll polya(ll n, ll m)///用m種顏色對n個珠子構成的環上色,旋轉翻轉後相同的只算一種
{
    ll ans = 0;
    for(ll i = 0; i < n; i++)
        ans += pow(m,gcd(n,i));
    if(n & 1)
        ans += n * pow(m,(n-1)/2+1);
    else
        ans += (n/2) * pow(m,n/2) + (n/2) * pow(m,n/2+1);
    return ans/(2*n);
}

Burnside定理

void solve(int z)///計算z個數中每個數的循環節長度
{  
    for(int i = 1; i <= z; i++)  
    {  
        int j = num[i];  
        int l = 1;  
        while(i != j)  
        {  
            l++;  
            j = num[j];  
        }  
        mem[i] = l;  
    }  
}  

const int MAX=1001;
int n,perm[MAX], visit[MAX];
void Polya()///sum求循環節個數,Perm用來存儲置換,即一個排列
{
    int pos,sum=0;
    memset(visit,0,sizeof(visit));
    for(int i = 0; i < n; i++)
    {
        if(!visit[i])
        {
            sum++;
            pos = i;
            for(int j = 0; !visit[perm[pos]]; j++)
            {
                pos = perm[pos];
                visit[pos] = 1;
            }
        }
    }
    return sum;
}