CodeForces 547C. Mike and Foam 莫比烏斯反演

題意：給定一個長度爲n的數列a,和q個操作（1<= n,q <= 2*10^5, 1 <= a[i] <= 5*10^5 ）

需要維護一個多重集合Q.

每個操作給出一個下標i,如果a[i]屬於Q那麼把a[i]從Q中拿走，如果a[i]不屬於Q，那麼把a[i]加入Q中。

每次操作後詢問Q中，有多少對i,j滿足條件 i<j 且 gcd(a[i],a[j])=1

這個性質的維護比較困難，直接做是O(n*q)

答案是利用莫比烏斯反演定理來做：

d[k]表示集合Q中，有多少個元素是k的倍數

本題中d <= 5*10^5,因爲當d>5*10^5時，所有的F(d)都一定爲0

現在直接來看最後K的公式，增減元素之後，只要調整所有影響的F值，就可以得到新的K值。

然後關於莫比烏斯函數u(x),當x含有任何質數因子的平方或更高次方的時候u(d)=0，所以這時的F的變化不用考慮。

2*3*5*7*11*13*17=510510>5*10^5,所以本題中，任何的a[i]最多含有6個不同的質因子。

那麼a[i]的因子d 中，使u(d) != 0 的最多隻有2^6 =64個

於是如果要加入或刪除某個a[i] ，只需找到a[i]影響的最多64個d[i],根據d[i]來調整K值就行了。

總複雜度O(q  *  64)

在代碼中，沒有記錄F[i],只記錄了d[i]，然後根據d[i]的變化來調整K.

代碼如下：

#include <iostream>
#include <cstdio>
#include <cmath>
#include <cstring>
#define maxn 200007
#define maxv 500007 
using namespace std;
int maxprime[maxv];/* maxprime[i]是i的質因數中最大的一個 */
int u[maxv];/* 莫比烏斯函數 */
bool On[maxn];/* 記錄a[i]是否在集合內 */
int d[maxv];/* 記錄d[k]表示集合內有多少個值是k的倍數 */
int a[maxn];
int n,q;
long long K;
void Init(){/* 初始化maxprime和u數組 */
	memset(maxprime,-1,sizeof(maxprime));
	for(int i=1;i<maxv;++i) u[i]=1;
	for(int i=2;i<maxv;++i){
		if(~maxprime[i]) continue;
		for(int j=1,v=i;v<maxv;++j,v+=i){
			maxprime[v]=i;
			u[v]=j%i==0?0:-u[v];
		}
	}
}
bool Add(int x){/* 加入x */ 
	int fac[6],facn=0;
	while(x>1){/* 質因數分解 */
		int p=maxprime[x];
		fac[facn++]=p;
		do x/=p;
		while(x%p==0);
	}
	int MAX=1<<facn;
	for(int i=0;i<MAX;++i){/* 調整所有的d值以及K值 */
		int t=i,v=1;
		for(int j=0;j<facn;++j,t>>=1){
			if(t&1) v*=fac[j]; 
		}
		K+=d[v]*u[v];
		++d[v];
	}
	return true;
}
bool Remove(int x){/* 刪除x */ 
	int fac[6],facn=0;
	while(x>1){/* 質因數分解 */
		int p=maxprime[x];
		fac[facn++]=p;
		do x/=p;
		while(x%p==0);
	}
	int MAX=1<<facn;
	for(int i=0;i<MAX;++i){/* 調整所有的d值以及K值 */
		int t=i,v=1;
		for(int j=0;j<facn;++j,t>>=1){
			if(t&1) v*=fac[j]; 
		}
		--d[v];
		K-=d[v]*u[v];
	}
	return true;
}
int main(void)
{
	Init();
	freopen("547C.txt","r",stdin); 
	while(~scanf("%d%d",&n,&q)){
		memset(On,0,sizeof(On));//On數組，表示a[i]是否在集合中 
		memset(d,0,sizeof(d));//d[k]表示集合中有多少個是k的倍數 
		K=0;
		for(int i=1;i<=n;++i) scanf("%d",&a[i]);
		for(int i=0;i<q;++i){
			int x;scanf("%d",&x);
			On[x]=On[x]?Remove(a[x]),false:Add(a[x]),true;
			printf("%I64d\n",K); 
		}
	}
return 0;
}