求斐波那契数列的三种方法------递归法、for循环法、快速幂矩阵法

1 递归法求斐波那契数列，时间复杂度O(n^2),实现代码如下：

#include <iostream>
using namespace std;

int Fib(int n) {
	if(n <= 2) return 1;
	else {
		return Fib(n-1) + Fib(n-2);
	}
	
} 
int main(){
	int n, result;
	cin >> n;
	result = Fib(n);
	cout << result;
	return 0;
}

2 for循环法求斐波那契数列，时间复杂度O（n)， 其实改进的方法并不复杂。

上述递归代码之所以慢是因为重复的计算太多，我们只要想办法避免重复计算就行了。比如我们可以把已经得到的数列中间项保存起来，如果下次需要计算的时候我们先查找一下，如果前面已经计算过就不用再重复计算了。 更简单的办法是从下往上计算，首先根据f(0)和f(1)算出f(2),再根据f(1)和f(2)算出f.(....依此类推就可以算出第n项了。很容易理解，这种.思路的时间复杂度是0(n)。实现代码如下:

#include <iostream>
using namespace std;

long long Fib(int n) {
	int result[2] = {0, 1};
	if(n < 2) {
		return result[n];
	}
	long long fibone = 1;
	long long fibtwo = 0;
	long long fibN = 0;
	for(int i = 2; i <= n; i++) {
	 fibN = fibone + fibtwo;
	 fibtwo = fibone;
	 fibone = fibN; 
	} 
	return fibN;
}
int main(){
	long long n;
	cin >> n;
	cout << "第" << n << "项的斐波那契数为： " << Fib(n);
	return 0;
}

3 快速幂法求斐波那契数列，时间复杂度O(logN)

(1)为什么要用快速幂？

例如：现在有一个题目让你求 ,你可能觉得很简单啊，来一个for循环，循环b-1次就行了。但是如果b非常大的情况下，那这个做法是非常低效的，时间复杂度大致为 O(b)。

当用快速幂之后，时间复杂度为O(logn)。

(2)数的快速幂

例如我们用快速幂求 。

将指数拆分能够得到如下的结果。 
学过进制转换看到11拆开的样子肯定会很眼熟，其实这里就是跟二进制有关。

11的二进制为1011 ,我们只需要把11的二进制代码中为1的位数对应的2^n累乘起来即可，如2^11=2^8*2^2*2,对应二进制数中的第0、1、3位(从右往左数）均为1，故把它们累乘起来即可得到2^11。

这样一来，我们求2^11就不需要算10次了，现在三次就够了。

实现代码如下：

// 利用快速幂求x^n 
#include <iostream>
using namespace std;

int pow(int x, int n) {
	int ans = 1, base = x; //base 为底数， ans为最后累乘的结果x^n 
	while(n != 0) {
		if(n&1 != 0) {
			ans *= base;
		}
		base *= base;
		n >>= 1; // 等价于把n右移一位并吧结果赋给n 
	}
	return ans;
}
int main(){
	int x, n;
	cout << "请输入底数："; 
	cin >> x;
	cout << endl;
	cout << "请输入指数："; 
	cin >> n;
	cout << x << "^" << n << "=" << pow(x, n); 
	return 0;
}

（3）矩阵的快速幂

于是我们得到如下公式： 其中Fn则对应结果矩阵result[0][1]的值

 

利用矩阵的快速幂书写如下代码： 

 

//用矩阵快速幂求斐波那契数列
#include <iostream>
#include<cstring>
using namespace std;

struct Matrix { //定义矩阵结构体 
	int a[2][2];
}; 

Matrix muliMatrix(Matrix x, Matrix y) { //求两个矩阵相乘
	Matrix result; //结果矩阵result 
	memset(result.a, 0, sizeof(result.a)); //将结果矩阵的元素全部初始化为0
	for(int i = 0; i < 2; i++) {
		for(int j = 0; j < 2; j++) {
			for(int k = 0; k < 2; k++){
				result.a[i][j] += x.a[i][k] * y.a[k][j]; //矩阵的乘法 
			}
		}
	} 
	return result; 
} 

int matrixPow(int n) { //快速幂求斐波那契数列
	Matrix res, c;
	memset(res.a, 0, sizeof(res.a));  
	for(int i = 0; i < 2; i++) {
		res.a[i][i] = 1; //将res初始化为单位矩阵，因为任何矩阵和单位矩阵相乘都是它本身 
	} 
	c.a[0][0] = 1; //构造斐波那契矩阵 
	c.a[0][1] = 1;
	c.a[1][0] = 1;
	c.a[1][1] = 0;
	
	while(n) {
		if(n&1 != 0){ //这里和求x^n的快速幂类似 
			res = muliMatrix(res, c);
		}
		c = muliMatrix(c, c);
		n >>= 1; // 等价于把n右移一位并把结果赋给n即n=>>1 
	} 
	return res.a[0][1]; //由于斐波那契第n项Fn对应结果举证中res.a[0][1]的值 
}

int main(){
	int n;
	cout << "请输入斐波那契数列的项数: ";
	cin >> n;
	cout << endl;
	cout << "第" << n << "项斐波那契数列的值=" <<  matrixPow(n);
	return 0;
}