左偏樹模板講解

左偏樹

左偏樹是可合併的二叉堆，首先滿足所有的堆的性質，其外，它還可以合併。

左偏樹的樹節點需要保存的信息有：
       1.左右子樹節點編號
       2.此節點到有空子結點(子節點數不足2個的節點)的結點的最短距離dist
       3.自身權值

性質

左偏樹除了堆的所有性質，它還要滿足的重要的性質就是“左偏”。

左偏
這個性質保證了它的操作都是O(logn)的。
左偏就是每個節點的左子節點的dist不小於右子節點的dist
（但並不代表左子節點數一定不小於右子節點數），
那麼可知dist[i] =dist[rc[i]]+1；

如圖（圈內是節點權值，藍字就是dist值。）

操作

堆可以做到的是：插入（O(logn)），查詢最值（O(1)），刪除堆頂（O(logn)）；
對於左偏樹，這些操作都是基於合併的（除了查詢最值），而且複雜度都仍然是O(logn)。
左偏樹合併操作合併的是兩棵左偏樹，對於堆的插入，就是合併一棵樹和一個節點，對於堆的刪除，就是合併根的兩棵子樹。
合併過程

以小根堆爲例，
合併A, B兩個堆
    如果 A < B（這個不滿足的話swap(a,b)）and兩棵樹的節點沒有包含關係(就是沒有相同的節點)。
    比較B和A的右子樹大小，
    如果B  <  A的右子樹，那麼swap B和A的右子樹，
    接着將B看成剛剛的A，繼續swap；
    如果B>A的右子樹，那麼繼續找這顆樹的右子樹。
    而這樣可能會破壞左偏的性質，
    所以需要在回溯的過程中維護左偏性質，
    通過交換左右子樹完成。
總的來說，左偏樹的核心操作，合併(merge)，是在右子樹上進行的，
又因爲要保證每個節點的左子節點的dist不小於右子節點的dist，
而且有dist[i] =dist[rc[i]]+1，
所以一棵左偏樹的效率是O(logn)的

下面附上圖會理解得更清晰：

// 左偏樹模板， 以大根堆爲例
struct node{
    int w, lc, rc, h;
}t[M];//結構體
//核心操作 ：合併(函數返回值：樹根)
int merge(int A, int B){
    if(!A||!B) return A+B;
    if(t[A].w < t[B].w) swap(A, B);
    t[A].rc = merge(t[A].rc, B);
    maintain(A); //維護A的一些信息(此模板結構體中並沒有)，如：子節點數
    if(t[t[A].lc].h < t[t[A].rc].h) swap(t[A].lc, t[A].rc);
    if(t[A].rc) t[A].h = t[A].rc+1;
    else t[A].h = 0;
    return A;
} 
//插入 
void insert(int A, int x){
    cnt++;
    t[cnt].w = x; 
    merge(A, cnt);
} 
//刪除
void del(int A){
    merge(t[A].lc, t[A].rc);
}