淺談RMQ

RMQ是英文Range Maximum(Minimum) Query的縮寫，顧名思義是用來求某個區間內的最大值或最小值，通常用在要多次詢問一些區間的最值的問題中。
RMQ的原理實際上是動態規劃，我們用A[1…N]表示一組數，用[Li,Ri]表示題目中所涉及到詢問區間。設F[I,J]表示從A[I]到A[I+$2^{j}$-1]這個範圍內的最大值，也就是以A[I]爲起點連續$2^{j}$個數的最大值，由於元素個數爲$2^{j}$個，所以從中間平均分成兩部分，每一部分的元素個數剛好爲$2^{j-1}$個.
整個區間的最大值一定是左右兩部分最大值的較大值，滿足動態規劃的最優化原理，分析得到狀態轉移方程：F[I,J]=max(F[I,J-1],F[I+$2^{j}$-1,J-1])，邊界條件爲F[I,0]=A[I]，這樣就可以在O(NlgN)的時間複雜度內預處理F數組。

例題：
【飛船】
(airship.pas)
【題目描述】
2008年9月25日21點10分，酒泉衛星發射中心指控大廳裏，隨着指揮員一聲令下，長征二號F型火箭在夜空下點火起飛，神舟七號飛船載着翟志剛、劉伯明、景海鵬3位航天員，在戈壁茫茫的深邃夜空中飛向太空，開始人類漫步太空之旅。第583秒，火箭以7.5公里／秒的速度，將飛船送到近地點200公里、遠地點350公里的橢圓軌道入口。而此時，火箭的燃料也消耗殆盡，即將以悲壯的方式與飛船告別。這個過程，在短短不到10分鐘時間內，翟志剛和他的兩名戰友體會到了從超重到失重的過程。
除了超重和失重的感覺之外，就是浩瀚的長空中璀璨的星星，和地面上看到的星星不同，在太空中看到的星星是成一條直線的，一共有N(1<=N<=100,000)顆星星，編號爲1到N,每個星星有自己的體積，由於在飛船中很無聊，除了不停地玩弄手中失重的書和筆之外沒有別的事可幹，此時翟志剛說我們來玩遊戲吧，一共玩了M輪(1<=M<=100,000)，每一輪都是給出兩個整數L和R(1<=L<=R<=N)，詢問第L到第R顆星星之間最大星星的體積，每次答對的人就可以多休息一段時間。
由於翟志剛還要進行太空漫步，所以他現在請你幫忙，你得到的回報就是太空餅乾。
【輸入格式】
第一行輸入N,M
接下來一行N個整數，表示星星的體積(1<=體積<=maxlongint)
接下來M行，每行兩個整數L_i,R_i,表示詢問區間。
【輸出格式】
輸出M行，每一行表示詢問區間L_i到R_i之間最大星星的體積。
【樣例輸入】
6 3
5 7 3 9 2 10
1 3
2 4
3 6
【樣例輸出】
7
9
10
【數據說明】
50%的數據滿足1<=N,M<=5000
##標程：

uses math;
var
        f:array[0..200000,0..18]of int64;
        a:array[0..200000]of int64;
        i,j,n,m,x,y,k,s:longint;
begin
        readln(n,m);
        for i:=1 to n do
        begin
                read(a[i]);
                f[i,0]:=a[i];
        end;
        for j:=1 to trunc(ln(n)/ln(2)) do //ln(n)/ln(2)表示2的ln(n)/ln(2)次方等於n
                for i:=1 to n-(1 shl j)+1 do
                        f[i,j]:=max(f[i,j-1],f[i+(1 shl (j-1)),j-1]);//(1 shl (j-1))表示2的j-1次方
        for i:=1 to m do
        begin
                readln(x,y);
                k:=trunc(ln(y-x+1)/ln(2));
                writeln(max(f[x,k],f[y-(1 shl k)+1,k]));
        end;
end.