讀《炫酷反演魔術》有感——各種反演（待填坑）

要以這個開頭：

我愛你反演！❤

閱讀原文

以下內容只是爲了給自己看
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下面進入正題：

什麼是反演

二項式反演

ppt一開始給了一道題目：

這是個很簡單的容斥問題：
$F(n)=\sum_{k=0}^{n}(-1)^{k}\tbinom{n}{k}(n-k)!$

原文用了和通俗易懂的說法和圖來解釋這個容斥，風趣幽默，拉近與讀者的距離
怎麼變成評論文學價值了？

原本用了一些篇幅來寫爲什麼這個容斥係數要麼是-1要麼是1，這是我從來沒有想過的。（菜雞的微笑）

其實思考一下可以發現，（算了搬原文）


刺不刺激，驚不驚喜！
（菜雞捂嘴表示驚歎）

這個大哥(叫一聲大哥)讓我弄懂了出生到現在沒有想過的東西！！！！

從另一個角度看上面式子左半邊是！
$\sum_{k=0}^{n}(-1)^k\tbinom{n}{k}=[n=0]$

然後用反演思想看一下~
我們設$F(n)$表示n個人隨便站的方案數
$G(n)$表示n個人沒有一個人站對的方案數

那麼$F(n)=\sum_{k=0}^{n}\tbinom{n}{k}G(n)$

注意注意！然後要開始反演了！！！！

原文稱爲"魔術"：

簡單易懂的廢話：
$G(n)=\sum_{m=0}^{n}[n-m=0]\tbinom{n}{m}G(m)$
一開始我還一臉懵逼，後來發現這個式子等於
$G(n)=G(m)[m=n]$

然後上面那個東西用到啦！！
複習一下：
$\sum_{k=0}^{n}(-1)^k\tbinom{n}{k}=[n=0]$
所以代入：
$G(n)=\sum_{m=0}^{n}\sum_{k=0}^{n-m}(-1)^k\tbinom{n-m}{k}\tbinom{n}{m}G(m)$

我一直不知道這個東西$\tbinom{n-m}{k}\tbinom{n}{m}$怎麼轉換，今天懂了！
等於在n裏面選m個數然後在餘下的裏面再選k個數。
所以等價於：$\tbinom{n}{k}\tbinom{n-k}{m}$

所以原式=
$G(n)=\sum_{m=0}^{n}\sum_{k=0}^{n-m}(-1)^k\tbinom{n}{k}\tbinom{n-k}{m}G(m)$

下面他的操作有點迷：
這東西我愣是沒有看懂，後來發現。
假設$k=n-m-p(0\leq p\leq n-m)$
那麼$m=n-k-p$
所以枚舉p過程中發現其實上面那條式子就是成立的了。
枚舉的每一個k都有所有確定的m=n-k-p與之對應

綜上所述，上述式子正確！

$G(n)=\sum_{k=0}^{n}(-1)^k\tbinom{n}{k}\sum_{m=0}^{n-k}\tbinom{n-k}{m}G(m)$

”注意最右邊的那個小朋友！其實就是$F$!“

對比上面F的式子：
$F(n)=\sum_{k=0}^{n}\tbinom{n}{k}G(n)$

發現：
$G(n)=\sum_{k=0}^{n}(-1)^k\tbinom{n}{k}F(n-k)$
把下表搞好看點就是
$G(n)=\sum_{k=0}^{n}(-1)^{n-k}\tbinom{n}{k}F(k)$

這就是著名的二項式反演！
$F(n)=\sum_{k=0}^{n}\tbinom{n}{k}G(n)$$G(n)=\sum_{k=0}^{n}(-1)^{n-k}\tbinom{n}{k}F(k)$

至此，二項式反演告一段落

看到這裏我作爲菜雞看得滿頭大汗！
好的大哥，您成功激起了我對反演的興趣呢！

莫比烏斯反演

原文叫做：
又是一道題目出來：

還是設！
設 $F(n)$ 表示長度爲 $n$ 的字符串的個數。
設 $G(n)$ 表示長度爲 $n$ 的且週期爲 $n$ 的字符串的個數。

$F(n)=\sum_{d|n}G(d)$

這就是典型的莫某某反演的形式
然後？

發現我們剛纔是怎麼搞出二項式反演的？
用一句廢話然後帶進去不是嗎？

在這裏我們同樣定義：
設$\mu(n)$滿足
$\sum_{d|n}\mu(d)=[n=1]$
爲什麼這次是1？
因爲剛剛判斷相等是用減法，這次我們用除法，相同的數相除當然是1咯！

又是一句廢話開始魔術~
$G(n)=\sum_{m|n}[\frac{n}{m}=1]G(m)$

然後順理成章地代入：
$G(n)=\sum_{m|n}\sum_{d|\frac{n}{m}}\mu(d)G(m)$

再用剛剛的方法，用d把m表示出來，就是$m|\frac{n}{d}$
然後？順理成章：
$G(n)=\sum_{d|n}\mu(d)\sum_{m|\frac{n}{d}}G(m)$
”$F$君好久不見~“

$G(n)=\sum_{d|n}\mu(d)F(\frac{n}{d})$
換一下：
$G(n)=\sum_{d|n}\mu(\frac{n}{d})F(d)$

這樣就得到了莫比烏斯反演了~

$F(n)=\sum_{d|n}G(d)$$G(n)=\sum_{d|n}\mu(\frac{n}{d})F(d)$

後面又一道題目，我是跪着看完的