SICP ex1-17 ex-18 ex1-19

原創

zb1030415419

2020-02-21 05:34

這道題的題目背景:用尋找最小divisor判斷素性的方法O(n^(1/2))編寫一個能給出給定範圍素數的程序,並能夠計算程序進行的時間

首先我們創建能夠判斷素數的函數

然後我們用給定範圍內的奇數去判斷

(define (test n) 
	(define starttime (runtime))
	(define (smallest-divisor n)
		(define (reminder x y) (if (< x y) x (reminder (- x y) y)))
		(define (is-divisor? a) 
			(cond ((= (reminder n a) 0) a)
					((>  (* a a) n) n)
					(else (is-divisor? (+ a 1)))
			)
		)
		(is-divisor? 2)
	)
	(define (is-prime? n) (= (smallest-divisor n) n))
	(define flag (is-prime? n))
	(cond (flag (display "\n") (display n)))
	flag
	(define endtime (runtime))
	(- endtime starttime) 
)
(define (prime-create minum maxnum)
	(define starttime (runtime))
	(define (reminder x y) (if (< x y) x (reminder (- x y) y)))
	(define (is-even? n) (= (reminder n 2 ) 0) )
	(cond ((is-even? minum) (prime-create (+ minum 1) maxnum))
			(else 
				(cond ((< minum maxnum ) (test minum) (prime-create (+ minum 2) maxnum))
						((= minum maxnum ) (test minum))
				)
			)
	)
	(define endtime (runtime))
	(- endtime starttime)
)

這個結果好像和我們的設想不太一樣,那麼我們來分析一下過程 test 997 test 10007 997處理a 2- 33 10007 處理a 2-100 大約3倍多一點這時我們如果假設每步求餘都爲1那麼結果就是符合O的但是,我們這裏的reminder是由減法迭代創建的,也就是reminder這個的時間也是會根據參數的改變而改變,由於參數相差較大,所以reminder在這裏的差異也較大,所以結果不符合O

ex1-18要求在17的前提下修改test將檢測的divisor爲＞2的偶數除去

(define (test n) 
	(define starttime (runtime))
	(define (next-divisor n) (cond ((= n 2) 3) (else (+ n 2))))
	(define (smallest-divisor n)
		(define (reminder x y) (if (< x y) x (reminder (- x y) y)))
		(define (is-divisor? a) 
			(cond ((= (reminder n a) 0) a)
					((>  (* a a) n) n)
					(else (is-divisor? (next-divisor a)))
			)
		)
		(is-divisor? 2)
	)
	(define (is-prime? n) (= (smallest-divisor n) n))
	(define flag (is-prime? n))
	(cond (flag (display "\n") (display n)))
	flag
	(define endtime (runtime))
	(- endtime starttime) 
)
(define (prime-create minum maxnum)
	(define starttime (runtime))
	(define (reminder x y) (if (< x y) x (reminder (- x y) y)))
	(define (is-even? n) (= (reminder n 2 ) 0) )
	(cond ((is-even? minum) (prime-create (+ minum 1) maxnum))
			(else 
				(cond ((< minum maxnum ) (test minum) (prime-create (+ minum 2) maxnum))
						((= minum maxnum ) (test minum))
				)
			)
	)
	(define endtime (runtime))
	(- endtime starttime)
)

基本同ex1-17的結果的一半,符合題意的2倍猜測

解釋,由於它是將偶數項除去（2不算)因此同相鄰奇數項reminder的時間基本一致所以符合2倍關係

ex1-19

要求修改1-17中的test 利用費馬測試來加快test觀察結果是否爲O(logn)並若不是作出解釋

先給代碼

(define (is-prime? n times)
	(define starttime (runtime))
	(define (fermat n)
		(define a (+ 2 (random (- n 2) ) ) )
		(define (expmod base Exp div)
			(define (reminder x y) (if (< x y) x (reminder (- x y) y)))
			(define (square x) (* x x) )
			(define (is-even? x) (= (reminder x 2) 0))	
			(cond ((= Exp 0) 1)
					((is-even? Exp) (reminder (square (expmod base (/ Exp 2) div) ) div ) )
					(else (reminder (* base (expmod base (- Exp 1) div) ) div ) ) ) 
		)
		(= (expmod a n n) a)
	)
	(cond ((= times 0) #t)
			((fermat n) (is-prime? n (- times 1)))
			(else #f))
	(- (runtime) starttime)
)
(define (test n) (is-prime? n 1))