1.1 0 前 言
邊緣是圖象最基本的特徵. 邊緣檢測在計算機視覺、圖象分析等應用中起着重要的作用,是圖象分析與識別的重要環節,這是因爲子圖象的邊緣包含了用於識別的有用信息. 所以邊緣檢測是圖像分析和模式識別的主要特徵提取手段。
所謂邊緣是指其周圍像素灰度後階變化或屋頂狀變化的那些像素的集合,它存在於目標與背景、目標與目標、區域與區域,基元與基元之間。 因此它是圖象分割所依賴的重要的特徵,也是紋理特徵的重要信息源和形狀特徵的基礎;而圖象的紋理形狀特徵的提取又常常依賴於圖象分割。 圖象的邊緣提取也是圖象匹配的基礎,因爲它是位置的標誌,對灰度的變化不敏感,它可作爲匹配的特徵點。
圖象的其他特徵都是由邊緣和區域這些基本特徵推導出來的. 邊緣具有方向和幅度兩個特徵. 沿邊緣走向,像素值變化比較平緩;而垂直與邊緣走向,則像素值變化比較劇烈. 而這種劇烈可能呈現階躍狀,也可能呈現斜坡狀。 邊緣上像素值的一階導數較大;二階導數在邊緣處值爲零,呈現零交叉。
經典的、最簡單的邊緣檢測方法是對原始圖象按像素的某鄰域構造邊緣算子. 由於原始圖象往往含有噪聲,而邊緣和噪聲在空間域表現爲灰度有比較大的起落;在頻域則反應爲同是高頻分量,這就給邊緣檢測帶來困難.
Marr 和Hildreth 提出的零交叉邊緣檢測是一種十分有效的方法,他們認爲:其一,圖象強度的突變將在一階導數中產生一個峯或等價於二階導數中產生一個零交叉(Zero - Crossing) ;其二,圖象中的強度變化是以不同的尺度出現的,故應該用若干大小不同的算子才能取得良好的檢測效果。
鑑於邊緣檢測技術的重要性,在此我們有必要對邊緣檢測技術進行討論.
1.2經典的邊緣檢測算子
邊緣檢測的實質是採用某種算法來提取出圖像中對象與背景間的交界線。我們將邊緣定義爲圖像中灰度發生急劇變化的區域邊界。圖像灰度的變化情況可以用圖像灰度分佈的梯度來反映，因此我們可以用局部圖像微分技術來獲得邊緣檢測算子。經典的邊緣檢測方法，是對原始圖像中像素的某小鄰域來構造邊緣檢測算子。以下是對幾種經典的邊緣檢測算子進行理論分析，並對各自的性能特點作出了比較和評價
不妨記：▽(x,y)=+ 爲圖像的梯度，▽(x,y)包含灰度變化信息
記： (x,y)=爲▽(x,y)的梯度，e(x,y)可以用作邊緣檢測算子。爲了簡化計算，也可以將e(x, y)定義爲偏導數與的絕對值之和:
=||+||
以這些理論爲依據，提出了許多算法，常用的邊緣檢測方法有:Roberts邊緣檢測算子、Sobel邊緣檢測算子、Prewitt邊緣檢測算子、Canny邊緣檢測算子、Laplace邊緣檢測算子等等。
1.2.1Roberts邊緣檢測算子
Roberts邊緣檢測算子根據任意一對互相垂直方向上的差分可用來計算梯度的原理，採用對角線方向相鄰兩像素之差，即:
△=- , △=- (1.2.4)
=或||+|| （1.2.5）
它們的卷積算子 ，
有了 , 之後，很容易計算出Roberts的梯度幅值，適當取門限TH，作如下判斷: >TH, (i, j)爲階躍狀邊緣點。{}爲邊緣圖像。
Roberts算子採用對角線方向相鄰兩像素之差近似梯度幅值檢測邊緣。檢測水平和垂直邊緣的效果好於斜向邊緣，定位精度高，對噪聲敏感。
1.2.2 Sobel邊緣檢測算子
對數字圖像{(i,j)}的每個像素，考察它上、下、左、右鄰點灰度的加權差，與之接近的鄰點的權大。據此.定義Sobel算子如下:
||+||
|(+2+)-(+2+)|+|((i-1,j-1)+2(i,j-1)+(i+1.j-1))-(i-1,j+1)+2(i,j+1)+(i+1.j+1))|
其卷積算子 ，
圖1-4 Sobel邊緣檢測算子方向模板
適當取門限TH，作如下判斷: >TH, (i, j)爲階躍狀邊緣點，{ }爲邊
緣圖像。
Sobel算子很容易在空間上實現，Sobel邊緣檢測器不但產生較好的邊緣檢測效果，而且受噪聲的影響也比較小。當使用大的領域時，抗噪聲特性會更好，但這樣做會增加計算量，並且得出的邊緣也較粗。
Sobel算子利用像素點上下、左右鄰點的灰度加權算法，根據在邊緣點處達到極值這一現象進行邊緣的檢測。Sobel算子對噪聲具有平滑作用，提供較爲精確的邊緣方向信息，但它同時也會檢測出許多的僞邊緣，邊緣定位精度不夠高。當對精度要求不是很高時，是一種較爲常用的邊緣檢測方法。
1.2.3 Prewitt邊緣檢測算子
Prewitt算子是一種邊緣樣板算子。這些算子樣板由理想的邊緣子圖像構成。依次用邊緣樣板去檢測圖像，與被檢測區域最爲相似的樣板給出最大值。用這個最大值作爲算子的輸出值（i,j），這樣可將邊緣像素檢測出來。定義Prewitt邊緣檢測算子模板如下:
（a）方向1 （b）方向2 （c）方向3 (d)方向4
（e）方向5 （f）方向6 （g）方向7 （h）方向8
8個算子樣板對應的邊緣方向如下圖所示:
圖1-6樣板方向
適當取門限TH，作如下判斷: （i,j） >TH,(i, j)爲階躍狀邊緣點。{ (i，j)}爲邊緣圖像。
1.2.4 Laplacianof Gaussian(LoG)算子
正如上面所提到的，利用圖像強度二階導數的零交叉點來求邊緣點的算法對噪聲十分敏感，所以，希望在邊緣增強前濾除噪聲．爲此，Marr和Hildreth[146]將高斯濾波和拉普拉斯邊緣檢測結合在一起，形成LoG（Laplacian of Gaussian, LoG）算法，也稱之爲拉普拉斯高斯算法．LoG邊緣檢測器的基本特徵是：
1． 平滑濾波器是高斯濾波器．
2． 增強步驟採用二階導數(二維拉普拉斯函數)．
3． 邊緣檢測判據是二階導數零交叉點並對應一階導數的較大峯值．
4． 使用線性內插方法在子像素分辨率水平上估計邊緣的位置．
這種方法的特點是圖像首先與高斯濾波器進行卷積(高斯濾波器在6．6節中將詳細討論)，這一步既平滑了圖像又降低了噪聲，孤立的噪聲點和較小的結構組織將被濾除．由於平滑會導致邊緣的延展，因此邊緣檢測器只考慮那些具有局部梯度最大值的點爲邊緣點．這一點可以用二階導數的零交叉點來實現．拉普拉斯函數用作二維二階導數的近似，是因爲它是一種無方向算子．爲了避免檢測出非顯著邊緣，應選擇一階導數大於某一閾值的零交叉點作爲邊緣點．
LoG算子的輸出是通過卷積運算得到的：
根據卷積求導法有
其中：
濾波(通常是平滑)、增強、檢測這三個邊緣檢測步驟對使用LoG邊緣檢測仍然成立，其中平滑是用高斯濾波器來完成的；增強是將邊緣轉換成零交叉點來實現的；邊緣檢測則是通過檢測零交叉點來進行的．
可以看到，零交叉點的斜率依賴於圖像強度在穿過邊緣時的變化對比度．剩下的問題是把那些由不同尺度算子檢測到的邊緣組合起來．在上述方法中，邊緣是在特定的分辨下得到的．爲了從圖像中得到真正的邊緣，有必要把那些通過不同尺度算子得到的信息組合起來．
圖1-7 拉普拉斯高斯模板
1.2.5 Canny 算子
邊緣提取的基本問題是解決增強邊緣與抗噪能力間的矛盾，由於圖像邊緣和噪聲在頻率域中同是高頻分量，簡單的微分提取運算同樣會增加圖像中的噪聲，所以一般在微分運算之前應採取適當的平滑濾波，減少噪聲的影響。Canny運用嚴格的數學方法對此問題進行了分析，推導出由# 個指數函數線性組合形式的最佳邊緣提取算子網，其算法的實質是用一個準高斯函數作平滑運算，然後以帶方向的一階微分定位導數最大值，Canny算子邊緣檢測是一種比較實用的邊緣檢測算子，具有很好的邊緣檢測性能。Canny邊緣檢測法利用高斯函數的一階微分，它能在噪聲抑制和邊緣檢測之間取得較好的平衡。
1.2.6 經典邊緣提取算子提取圖像邊緣的結果對比分析
以下分別採用上述幾種最常用的經典圖像邊緣提取算子對標準的tire 圖像進行邊緣特徵提取，其結果如下圖所示：
從下圖可以看出，Roberts 算子提取邊緣的結果邊緣較粗，邊緣定位不很準確，Sobel算子和Prewitt 算子對邊緣的定位就準確了一些，而採用拉普拉斯高斯算子進行邊緣提取的結果要明顯優於前三種算子，特別是邊緣比較完整，位置比較準確。相比而言，Canny 算子提取的邊緣最爲完整，而且邊緣的連續性很好，效果優於以上其他算子，這主要是因爲它進行了“非極大值抑制”和形態學連接操作的結果。
上面幾種基於微分的經典邊緣提取算子，它們共同的優點是計算簡單、速度較快，缺點是對噪聲的干擾都比較敏感。在實際應用中，由於圖像噪聲的影響，總要將經典的算法進行改善結合其他一些算法對一幅含噪聲的圖像進行處理，然後再採用經典的邊緣提取算子提取圖像邊緣。
2 現代信號處理技術提取圖像邊緣方法
2.1 基於小波變換多尺度分析的圖像邊緣提取方法
2.1.1小波變換提取圖像邊緣的原理
小波變換是近年來興起的一種熱門信號處理方法，它良好的時-頻局部特性非常適合於圖像處理。小波變換對不同的頻率成分在時域上的取樣步長具有調節性，高頻者小，低頻者大的特點。因此，小波變換能夠把信號或圖像分解成交織在一起的多種尺度成分，並對大小不同的尺度成分採用相應粗細的時域或空域取樣步長，從而能夠不斷地聚焦到對象的任意微小細節。小波變換天生具有的多尺度特性，正好可以用於圖像的邊緣提取。
多尺度邊緣提取思想最初是Rosenfeld提出的，以後經過Mars Hildreth 和Within等人的逐步完善，形成了一整套理論。近年來，隨着對小波理論研究的不斷深入，它的應用也日趨廣泛。
2.2基於小波包分解的圖像邊緣提取方法
基於小波包多分辨率圖像邊緣提取方法是在小波函數對圖像分解的基礎上發展起來的，由於小波變換隻對圖像的低頻子帶進行分解，並未對圖像的高頻子帶進行分解，這樣在濾除噪聲影響的同時也損失了一定的圖像高頻信息，而小波包變換不僅對圖像的低頻子帶進行分解，還對圖像的高頻子帶進行分解，選擇的小波包尺度越大，小波係數對應的空間分辨率就越低。與小波分解相比，小波包分解是一種更爲精細的分解方法，可以根據信號的特性靈活地選擇分解方式，在各種不同分辨率下對各個子圖像進行邊緣提取工作，尤其對於含噪圖像，在提取圖像邊緣時對噪聲的抑制效果更好。某些利用小波包變換進行圖像邊緣檢測和分割的研究業己取得了良好的效果。
2.3基於數學形態學的圖像邊緣提取方法
數學形態學是一門新興的圖像分析學科，是一種非線性的濾波方法，它以嚴格的數學理論和幾何學爲基礎，着重研究圖像的幾何結構及相互關係。數學形態學對圖像的處理是基於填放結構元素的概念，結構元素的選擇和圖像的某種信息有密切的關係，構造不同的結構元素可完成不同的圖像分析，並得到不同的結果。數學形態學首先被用來處理二值圖像，後來也被用來處理灰度圖像，其最大的特點是能將複雜的形狀進行分解，並將有意義的形狀分量從無用的信息中提取出來。用數學形態學對圖像進行處理一般都要結合傳統的圖像分析方法，由於其出現的時間比較晚，目前還不是很成熟，但也有一些學者進行着這方面的研究探索。
2.4基於分形理論的圖像邊緣提取方法
任意一幅圖像都是有灰度的、非嚴格自相似的，不具有整體與局部的自相似，但是卻存在局部之間的自相似，即從局部上存在一定程度近似的分形結構。正是由於存在局部之間的自相似性，就可以構造了圖像的迭代函數。分形幾何中的壓縮映射定理，可以保證局部迭代函數的收斂，而分形幾何中的拼貼定理，就允許一個完整圖像分成若干個分形結構，即構成一個迭代函數系統。有了這個迭代函數系統，就必然決定了唯一的分形圖形。這個圖形被稱爲迭代函數系統的吸引子。因此，壓縮映射定理和拼貼定理，構成了分形在圖像處理中的核心部分。
對於給定的一幅圖像，尋找一個迭代函數系統，使它的吸引子與原圖像儘量地去吻合，因爲迭代函數系統的吸引子與原圖像間必然存在着差異，圖像中的每個子圖分形結構也不同程度上存在差異，因此，子圖的分形失真度大小不一，處在邊緣區的子圖的分形失真度比較大，而處在平坦區或紋理區子圖的分形失真度相對比較小。因此，就可以利用圖像邊緣在分形中的這一性質來提取圖像的邊緣。在檢測圖像邊緣時，採用某種度量方法（如最小二乘法）測量子塊與最佳匹配父塊的失真度，當計算的失真度值越大時，對應的邊緣塊越強，否則，對應的邊緣塊越弱。設定某一閾值，作爲區分邊緣塊的界限，與最佳匹配父塊的失真度大於閾值的子塊，就被劃爲邊緣塊。
目前，雖然有許多學者對基於數學形態學方法和基於分形理論方法提取圖像邊緣的技術進行了研究，但其技術尚還不夠成熟。
3 結束語
該文對各種圖像邊緣提取算法的基本原理進行了較爲詳細的分析和闡述，這對於從事數字圖像處理領域工作掌握圖像邊緣提取的有效方法，無疑是非常重要的。就傳統的經典圖像邊緣提取算法，雖然效果不一定最好，但因其算法簡單、成熟，計算量小，在經過一些改進之後，仍然有相當大的應用潛力。而小波變換、數學形態學理論、分形理論，都屬於近些年發展起來的高新信號處理技術，而且已經成功地運用到了數據壓縮等方面，如何最有效地應用這些技術進行圖像的邊緣提取，仍然是目前研究的一個熱點。
