題目描述
給定N種物品和一個容量爲V的揹包，物品i的體積是wi，價值爲vi 。從這些物品中挑選出總重量不超過W的物品，求所有挑選方案中價值總和的最大值。
限制條件
1<=n<=100
1<=wi,vi<=100
1<=W<=10000
樣例輸入
n=4
(w,v)={ (2,3) , (1,2) , (3,4) , (2,2) }
W=5
樣例輸出
7（選0，1，3號物品）
答案一（DFS）
分析
我們已知給定的n個物品的信息，可以針對每個物品都試試裝入或者不裝入這兩種情況。所以問題就變成了搜索問題。如何實現搜索，我們這裏使用的是遞歸，關於遞歸，要注意以下三個問題：
- 合適的返回值
- 遞歸函數參數的設置
- 遞歸入口和出口
對於本題，我們要求的是價值總和的最大值，所以可讓遞歸函數返回當前方案的價值和。對於遞歸函數的參數，可設置爲當前的物品序號和剩餘的可利用重量。
當所有物品對於是否選擇都判斷完畢，則退出遞歸程序。
示例代碼
#include<iostream>
using namespace std;
int func(int i,int j);
int n=0;
int wsum=0;
int w[100],v[100];
int dp[100][100];
int main(){
// 讀入數據
cin>>n;
for(int i=0;i<n;i++){
cin>>w[i];
cin>>v[i];
}
cin>>wsum;
cout<<func(0,wsum);
return 0;
}
//這類問題總可以嘗試用 第i個 和 限制條件爲wn 進行搜索
int func(int i,int wn){
int res;
if(i==n){
// 遞歸的出口：此時已經沒有剩餘物品 。
// 最後一件物品的價值還需要通過下一個物品，即第n個物品進行判斷。
// 不存在這個物品，所以其價值自然爲0.
res = 0;
}else if(wn<w[i]){
res = func(i+1,wn);
}else{
//挑選和不挑選的兩種情況都嘗試一下
res = max(func(i+1,wn-w[i])+v[i],func(i+1,wn));
}
return res;
}
答案二
思路
答案一雖然解決了問題，但是存在重複計算的缺點，違反了遞歸的合成效益法則（在求解一個問題的同一實例的時候，切勿在不同的遞歸調用中做重複性的工作）。我們可以通過記憶數組解決這一問題。
示例代碼
#include<iostream>
using namespace std;
int func(int i,int j);
int n=0;
int wsum=0;
int w[100],v[100];
//創建數組
int dp[101][101];
int main(){
// 讀入數據
cin>>n;
for(int i=0;i<n;i++){
cin>>w[i];
cin>>v[i];
}
cin>>wsum;
cout<<func(0,wsum);
return 0;
}
//遞歸函數
int func(int i,int j){
int res;
// 如果之前已經計算過這組參數，就直接返回結果，不再進行遞歸
if(dp[i][j]!=0){
return dp[i][j];
}else if(i == n){
res = 0;
}else if(j<w[i]){
res = func(i+1,j);
}else{
res = max(func(i+1,j),func(i+1,j-w[i])+v[i]);
}
// 將計算過的數據存入數組
dp[i][j] = res;
return res;
}
答案三
思路
由答案二我們可以看出，最終方案可由‘子方案’得出，比如對於樣例輸入，dp[0][5]=max(dp[1][5],dp[1][3]+3)。基於這個思路，我們可以使用動態規劃算法，對此問題進行解決。
示例代碼
#include<iostream>
using namespace std;
int func(int i);
int n=0;
int wsum=0;
int w[100],v[100];
int dp[101][101];
int main(){
// 讀入數據
cin>>n;
for(int i=0;i<n;i++){
cin>>w[i];
cin>>v[i];
}
cin>>wsum;
cout<<func(wsum);
return 0;
}
int func(int ws) {
for(int i=n-1;i>=0;i--){
for(int j=0;j<=ws;j++){
if(j<w[i]){
dp[i][j] = dp[i+1][j];
}else{
dp[i][j] = max(dp[i+1][j],dp[i+1][j-w[i]]+v[i]);
}
}
}
return dp[0][ws];
}
