bzoj4671 異或圖 [搜索+線性基+斯特林反演]

Description:
定義兩個結點數相同的圖G1$G1$ 與圖G2$G2$ 的異或爲一個新的圖G$G$ , 其中如果(u,v)$(u,v)$ 在G1$G1$ 與
G2$G2$ 中的出現次數之和爲1$1$ , 那麼邊(u,v)$(u,v)$ 在G$G$ 中, 否則這條邊不在G$G$ 中.
現在給定s$s$ 個結點數相同的圖G1...s$G\mathrm{1...}s$ , 設S=G1,G2,...,Gs$S=G1,G2,...,Gs$ , 請問S$S$ 有多少個子集的異
或爲一個連通圖?

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Solution:
直接枚舉不可做，那麼考慮容斥，計算至少有幾個連通塊進行容斥,設方案數爲fi$f_i$ 。那麼結果就是恰好有i個連通塊，那麼就是gi$g_i$ 。
那麼花費bell(n)$bell(n)$ 的時間劃分子集，這些子集之間不能有邊，利用線性基算出自由元數量x$x$ ，那麼對應的方案數就是2x$2^x$ 。
考慮gi$g_i$ 和fi$f_i$ 的關係，有
fm=∑ni=mgi∗S(i,m)$f_m=\sum _{i=m}^n{g}_i\ast S(i,m)$
根據斯特林反演
gm=∑ni=m(−1)i−m∗s(i,m)∗fi$g_m=\sum _{i=m}^n(-1{)}^{i-m}\ast s(i,m)\ast f_i$
那麼得出g1=∑ni=1(−1)i−1∗(i−1)!∗fi$g_1=\sum _{i=1}^n(-1{)}^{i-1}\ast (i-1)!\ast f_i$
所以每次計算出fi$f_i$ ,然後套入式子即可。

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#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;
const int maxn = 11, maxm = 65;
int n, m;
long long ans;
int g[maxm][maxn][maxn], bl[maxn];
long long a[maxm], fac[maxn];
char s[maxm];
void dfs(int dep, int k) {
    if(dep == n) {
        memset(a, 0, sizeof(a));
        for(int i = 1; i <= n; ++i) {
            for(int j = i + 1; j <= n; ++j) {
                if(bl[i] != bl[j]) {
                    long long tmp = 0;
                    for(int u = 1; u <= m; ++u) {
                        tmp |= 1LL * g[u][i][j] << (u - 1);
                    }
                    for(int t = m - 1; ~t; --t) {
                        if(tmp >> t & 1) {
                            if(a[t]) {
                                tmp ^= a[t];
                            } else {
                                a[t] = tmp;
                                break;
                            }
                        }
                    }   
                }   
            }
        }
        int c = 0;
        for(int i = 0; i < m; ++i) {
            c += a[i] > 0; 
        }
        ans += ((k & 1) ? 1 : -1) * (1LL << (m - c)) * fac[k - 1];  
        return;
    }
    for(int i = 1; i <= k + 1; ++i) {
        bl[dep + 1] = i;
        dfs(dep + 1, max(k, i));
    }
}
int main() {
    scanf("%d", &m);
    for(int i = 1; i <= m; ++i) {
        scanf("%s", s + 1);
        int l = strlen(s + 1), t = 0;
        n = (1 + sqrt(1 + (l << 3))) / 2;
        for(int u = 1; u <= n; ++u) {
            for(int v = u + 1; v <= n; ++v) {
                g[i][u][v] = s[++t] - '0';  
            }
        }
    }
    fac[0] = 1;
    for(int i = 1; i <= n; ++i) {
        fac[i] = fac[i - 1] * i;
    }
    dfs(0, 0);
    printf("%lld\n", ans);
    return 0;
}